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【题目】已知正方形ABCD,点F是射线DC上一动点(不与CD重合).连接AF并延长交直线BC于点E,交BDH,连接CH,过点CCGHCAE于点G

1)若点F在边CD上,如图1

①证明:∠DAH=DCH

②猜想:△GFC的形状并说明理由.

2)取DF中点M,连接MG.若MG=2.5,正方形边长为4,求BE的长.

【答案】1)①证明见解析;②△GFC是等腰三角形,理由见解析;(2BE的长为17

【解析】

1)①根据正方形的性质可得AD=CD,∠ADH=CDH,利用SAS可证明△ADH≌△CDH,即可得∠DAH=DCH

②由正方形的性质可得∠DAH+AFD=90°,由CGHC可得∠DCH+FCG=90°,根据∠AFD=CFG,可得∠CFG=FCG,即可证明CG=FG,可得△GFC是等腰三角形;

2)当点F在线段CD上时,连接DE,根据正方形的性质及角的和差关系可得∠E=GCE,即可证明CG=EG,由△GFC是等腰三角形可得CG=GF,可得点GEF中点,即可证明GM是△FDE的中位线,根据中位线的性质可求出DE的长,利用勾股定理可求出CE的长,进而根据BE=BC+CE即可求出BE的长;当点FDC延长线上时,连接DE,同理可得MG为△FDE的中位线,可求出DE的长,利用勾股定理可求出CE的长,根据BE=BC-CE即可求出BE的长.

1)①∵四边形ABCD是正方形,

AB=BC=CD=AD,∠ADB=CDB=45°

在△ADH和△CDH中,

∴△ADH≌△CDH

∴∠DAH=DCH

②△GFC是等腰三角形,理由如下:

∵四边形ABCD是正方形,CGHC

∴∠ADF=HCG=90°

∴∠DAH+AFD=DCH+DCG=90°

∵∠DAH=DCH,∠HFD=CFG

∴∠CFG=GCF

CF=CG

∴△GFC是等腰三角形.

2)如图,当点F在线段CD上时,连接DE

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠CEF+CFG=90°,∠GCE+GCF=90°

∵∠CFG=GCF

∴∠CEF=GCE

CG=EG

CG=FG

FG=EG

∵点MDF的中点,

GM是△DFE的中位线,

GM=2.5

DE=2GM=5

∵正方形ABCD的边长为4

CE==3

BE=BC+CE=4+3=7

如图,当点FDC的延长线上时,连接DE

同理可得:MG为△DFE的中位线,

DE=2GM=5

CE==3

BE=BC-CE=4-3=1

综上所述:BE的长为17

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