Question

【题目】已知如图，在直角坐标系xOy中，点A，点B坐标分别为（﹣1，0），（0， ），连结AB，OD由△AOB绕O点顺时针旋转60°而得．

（1）求点C的坐标；
（2）△AOB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积；
（3）线段AB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，过C作CE⊥OA于E，

∵点A，点B坐标分别为（﹣1，0），（0， ），
∴OA=1，OB= ，
∵△AOB绕点O顺时针旋转60°得到△COD，
∴∠AOC=∠BOD=60°，AO=OC=1，
∴OE= OC= ，CE= OC= ，
∴C（﹣ ， ）
（2）解：△AOB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积= + + × = π+
（3）解：如图2，

线段AB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积═（ ﹣1× ）+（）+（ ﹣ ）= .
【解析】（1）根据题意可作辅助线，过C作CE⊥OA于E，由旋转的性质可得∠AOC=∠BOD=60°，AO=OC=1，再由直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半可求得OE的长，在直角三角形CEO中，用锐角三角函数可求CE的长，根据点C在第二象限可写出点C的坐标。
（2）由题意结合图形可得，△AOB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积=扇形AOC的面积+扇形BOD的面积+三角形BOC的面积。
（3）由题意结合图形可得，线段AB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积═扇形AOC的面积-三角形AOC的面积+扇形BOD的面积-三角形DOM的面积+三角形BCM的面积。扇形面积=n360.