Question

【题目】如图，y关于x的二次函数y=﹣（x+m）（x﹣3m）图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为（﹣3，0），连接ED．（m＞0）

（1）写出A、B、D三点的坐标；

（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；

（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣m，0），B（3m，0），D（0，m）．（2）直线ED与⊙C相切．（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）根据x轴，y轴上点的坐标特征代入即可求出A、B、D三点的坐标；

（2）待定系数法先求出直线ED的解析式，再根据切线的判定得出直线与圆的位置关系；

（3）分当0＜m＜3时，当m＞3时两种情况讨论求得关于m的函数．

解：（1）令y=0，则﹣（x+m）（x﹣3m）=0，解得x1=﹣m，x2=3m；

令x=0，则y=﹣（0+m）（0﹣3m）=m．

故A（﹣m，0），B（3m，0），D（0，m）．

（2）设直线ED的解析式为y=kx+b，将E（﹣3，0），D（0，m）代入得：

解得，k=，b=m．

∴直线ED的解析式为y=mx+m．

将y=﹣（x+m）（x﹣3m）化为顶点式：y=﹣（x﹣m）2+m．

∴顶点M的坐标为（m，m）．代入y=mx+m得：m2=m

∵m＞0，

∴m=1．所以，当m=1时，M点在直线DE上．

连接CD，C为AB中点，C点坐标为C（m，0）．

∵OD=，OC=1，

∴CD=2，D点在圆上

又∵OE=3，DE2=OD2+OE2=12，

EC2=16，CD2=4，

∴CD2+DE2=EC2．

∴∠EDC=90°

∴直线ED与⊙C相切．

（3）当0＜m＜3时，S△AED=AE．OD=m（3﹣m）

S=﹣m2+m．

当m＞3时，S△AED=AEOD=m（m﹣3）．

即S=m2_ m．

S关于m的函数图象的示意图如右：