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【题目】如图,已知ABC中,BDCE是高, FBC中点,连接DEEFDF

(1)求证:DEF是等腰三角形.

(2)若∠A=45°,试判断DEF的形状,并说明理由. (3)若∠A:∠DFE=5:2,BC=4,求DEF的面积.

【答案】(1)证明见试题解析;(2△DEF是等腰直角三角形,理由见试题解析;(31

【解析】试题分析:(1)由直角三角形斜边上直线的性质可得:EF=BC=DF;故DEF为等腰三角形;

2)由△BEF△DFC为等腰三角形和∠A=45°,求出∠EFD的度数即可;

3)设A=5,则DFE=2,用(2)类似的方法求出DFE=30°,作出EDFDF上的高EG,求出EG的长即可.

试题解析:(1)证明:BDCE是高,FBC中点,EF=BC=DF∴△DEF是等腰三角形.

2DEF是等腰直角三角形;理由:∵∠A45°∴∠EBF+DCF=180°-45°=135°EF=BC=DF∴∠EBF=FEB,同理,DCF=FDC∴∠FEB+FDC=135°

∴∠BFE+∠CFD=180°+180°-135°-135°=90°∴∠DFE=180°-90°=90°∴△DEF是等腰直角三角形.

3)作EGDFG,设A5DFE2EF=BFDF=FC∴∠FBE=BEFFCD=FDC

∴∠BFE+CFD=180°2FBE+180°2FCD=2(180°FBEFCD)=2A=∴∠DFE2BC=4DF=EF=2EG=1∴△DEF面积1

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∴∠EFB=∠ADB=90° ( )

( )

∴∠1=∠BAD ( )

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(等量代换)

∴DG∥BA. ( )

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