Question

14．如图，一艘货船从港口B出发，沿正北方向航行至港口D，在港口B处时，测得灯塔A处在B处的北偏西37°方向上，航行至C处时，测得A处在C处的西北方向上，航行至D处时，测得A处在C处的南偏西53°方向上，已知A，B之间的距离是100海里，
（1）求货船与灯塔之间的最短距离及B，C之间的距离．
（2）若有一巡逻艇与货船从港口B同时出发，巡逻艇先直线航行到A处，在A处停留10分钟后，再以相同的速度直线航行至港口D，结果巡逻艇与货船同时到达港口D已知巡逻艇比货船每小时多航行25海里．求货船的速度．（参考数据：$sin37°≈\frac{3}{5}，tan37°≈\frac{3}{4}$）

Answer 1

分析 （1）过点A作AO⊥BD，垂足为O．先解Rt△ABO，求出AO=AB•sin37°≈100×$\frac{3}{5}$=60，BO=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=80．再解Rt△ACO，得到CO=AO=60，那么BC=BO-CO=80-60=20海里；
（2）先解Rt△AOD，求出OD=OA•tan∠OAD≈60×$\frac{3}{4}$=45，AD=$\sqrt{O{A}^{2}+A{D}^{2}}$=75，那么BD=BO+OD=80+45=125．再证明△ABD是直角三角形，利用勾股定理求出AB=$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=100．设货船的速度为每小时x海里，则巡逻艇的速度为每小时（x+25）海里，等量关系为：巡逻艇行驶（AB+AD）所用的时间+$\frac{10}{60}$小时=货船行驶BD所用的时间，依此列出方程求解即可．

解答 解：（1）过点A作AO⊥BD，垂足为O．
在Rt△ABO中，∵AB=100海里，∠ABO=37°，
∴AO=AB•sin37°≈100×$\frac{3}{5}$=60，
∴BO=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=80．
在Rt△ACO中，∵AO=60，∠ACO=45°，
∴CO=AO=60，
∴BC=BO-CO=80-60=20，
答：货船与灯塔之间的最短距离约为60海里，B、C之间的距离约为20海里；

（2）在Rt△AOD中，∵∠AOD=90°，∠ADO=53°，OA=60，
∴∠OAD=37°，
∴OD=OA•tan∠OAD≈60×$\frac{3}{4}$=45，
∴AD=$\sqrt{O{A}^{2}+A{D}^{2}}$=75，
∴BD=BO+OD=80+45=125．
在△ABD中，∵∠ABD=37°，∠ADB=53°，
∴∠BAD=180°-（∠ABD+∠ADB）=90°，
∴AB=$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=100．
设货船的速度为每小时x海里，则巡逻艇的速度为每小时（x+25）海里，
根据题意得$\frac{100+75}{x+25}$+$\frac{10}{60}$=$\frac{125}{x}$，
整理得x²+325x-18750=0，
解得x₁=50，x₂=-375（不合题意舍去）．
经检验，x=50是原方程的解，也符合题意．
答：货船的速度为每小时50海里．

点评 此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，勾股定理，路程、时间与速度之间的关系的应用．作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．