Question

如图，将含有30°的Rt△AMF水平放置，将△AMF绕点A逆时针旋转得△AM₁F₁，AF₁交FM于点K，设旋转角为β（0°＜β＜90°）．
（1）当△AFK为等腰三角形时，旋转角的度数为

 

；
（2）连接FF₁，当△FKF₁为等腰三角形时，你能求出△FKF₁各内角的度数吗？

Answer 1

考点：旋转的性质,等腰三角形的判定

专题：计算题

分析：（1）由于△AFK为等腰三角形，根据等腰三角形的性质得∠FAK=∠AFM=30°，再根据旋转的性质得∠F₁AF等于旋转角，于是得到旋转角为30°；
（2）根据旋转的性质得AF₁=AF，再根据等腰三角形的性质得∠AFF₁=∠AF₁F，然后分类讨论：当FF₁=FK时，则∠FKF₁=∠FF₁K，根据三角形外角性质得∠FKF₁=β+30°，则∠FF₁K=β+30°，所以∠AFF₁=β+30°，则∠KFF₁=β，在△KFF₁中，根据三角形内角和定理可计算出β=40°，于是得到∠KFF₁=40°，∠FKF₁=70°，∠FF₁K=70°；当F₁F=F₁K时，则∠FKF₁=∠F₁FK=30°+β，则∠AFF₁=∠AF₁F=30°+30°+β=60°+β，在△KFF₁中，根据三角形内角和定理可计算出β=20°，易得∠KFF₁=50°，∠FKF₁=50°，∠FF₁K=80°．

解答：解：（1）∵∠AFM=30°，
而△AFK为等腰三角形，
∴∠FAK=∠AFM=30°，
∵△AMF绕点A逆时针旋转得△AM₁F₁，
∴∠F₁AF等于旋转角，即旋转角为30°；
故答案为30°；
（2）∵△AMF绕点A逆时针旋转得△AM₁F₁，
∴AF₁=AF，
∴∠AFF₁=∠AF₁F，
当FF₁=FK时，则∠FKF₁=∠FF₁K，
∵∠FKF₁=β+30°，
∴∠FF₁K=β+30°，
∴∠AFF₁=β+30°，
∴∠KFF₁=β，
在△KFF₁中，30°+β+30°+β+β=180°，解得β=40°，
∴∠KFF₁=40°，∠FKF₁=70°，∠FF₁K=70°；
当F₁F=F₁K时，则∠FKF₁=∠F₁FK=30°+β，
∴∠AFF₁=∠AF₁F=30°+30°+β=60°+β，
在△KFF₁中，60°+β+30°+β+30°+β=180°，解得β=20°，
∴∠KFF₁=50°，∠FKF₁=50°，∠FF₁K=80°，
综上所述，△FKF₁各内角的度数分别为40°、70°、70°或50°、50°、80°．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．