Question

【题目】△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，△ABC的面积为49，P为直线BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E，F，H．若PF=3，则PE=________

Answer 1

【答案】4或10

【解析】

连接AP．先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP，S△ACP，S△ABC，再由S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH，先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH>PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH，P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH．

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，

∴

∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，

∴

又∵AB=AC，

∴PE=PF+CH，

∵在△ACH中,∠A=30°，

∴AC=2CH，

∵

∴12×2CHCH=49，

∴CH=7，

分两种情况：

①P为底边BC上一点，如图①,

∵PE+PF=CH，

∴PE=CHPF=73=4；

②P为BC延长线上的点时，如图②,

∵PE=PF+CH，

∴PE=3+7=10.

故答案为：4或10.