Question

15．学校校园内有一块形状为直角梯形的空地ABCD，其中AB∥DC，∠B=90°，AB=100m，BC=80m，CD=40m，现计划在上面建设一个面积为S的矩形综合楼PMBN，其中点P在线段AD上，且PM的长至少为36m    
（1）求边AD的长；     
（2）设PA=xm，求S关于X的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）若S=2800m²，求PA的长；  
（4）当x的值为多少时，s的值最大，最大值为多少？
（5）求tan$\frac{A}{2}$．

Answer 1

分析 （1）可通过构建直角三角形进行求解，过D作AB的垂线，那么可在构建的直角三角形中，根据梯形两底的差和梯形的高，用勾股定理求出AD的长．
（2）可根据（1）中构建的直角三角形求出∠A的正弦和余弦值，然后在直角三角形AMP中，表示出AM，PM的长，进而可根据AB的长，表示出矩形的长BM的值，由此可根据矩形的面积公式得出关于S、x的函数关系式．自变量的取值范围可根据PM的长至少为36m来解，即让PM的表达式大于等于36即可．
（3）可将S的值代入（2）所求得的函数解析式中，求出x的值，然后看x的值是否符合自变量的取值范围．
（4）由S=$-\frac{12}{25}{x}^{2}$+80x=-$\frac{12}{25}（x-\frac{250}{3}）^{2}+\frac{1000}{3}$，当x-$\frac{250}{3}$=0时，S有最大值，即可解答．
（5）在Rt△AED中，求得tanA=$\frac{DE}{AE}=\frac{80}{60}=\frac{4}{3}$，根据$tanA=\frac{2tan\frac{A}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{A}{2}}=\frac{4}{3}$，解得：$tan{\frac{A}{2}}_{1}=-2$，$tan{\frac{A}{2}}_{2}=\frac{1}{2}$，因为∠A为锐角，$tan\frac{A}{2}=\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）过点D作DE⊥AB于E，

则DE∥BC且DE=BC，CD=BE，DE∥PM，
Rt△ADE中，DE=80m，
∴AE=AB-BE=100-40=60m，
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}=\sqrt{6{0}^{2}+8{0}^{2}}=100$m．
（2）∵DE∥PM
∴△APM∽△ADE
∴$\frac{AP}{AD}=\frac{PM}{DE}=\frac{AM}{AE}$，
即$\frac{x}{100}=\frac{PM}{80}=\frac{AM}{60}$，
∴PM=$\frac{4}{5}$x，AM=$\frac{3}{5}$x，
即MB=AB-AM=100-$\frac{3}{5}$x，
S=PM•MB=$\frac{4}{5}$x•（100-$\frac{3}{5}$x）=-$\frac{12}{25}{x}^{2}$+80x，
由PM=$\frac{4}{5}$x≥36，得x≥45
∴自变量x的取值范围为45≤x≤100．
（3）当S=2800m²时，
-$\frac{12}{25}{x}^{2}$+80x=2800，
12x²-2000x+70000=0，
3x²-500x+17500=0，
解得：${x}_{1}=\frac{350}{3}$，x₂=50，
∵45≤x≤100，
∴x=50，
即PA=50m．
（4）S=$-\frac{12}{25}{x}^{2}$+80x=-$\frac{12}{25}（x-\frac{250}{3}）^{2}+\frac{1000}{3}$，
当x-$\frac{250}{3}$=0时，S有最大值，
即x=$\frac{250}{3}$时，S有最大值，最大值为$\frac{1000}{3}$．
（5）在Rt△AED中，DE=80，AE=60，
∴tanA=$\frac{DE}{AE}=\frac{80}{60}=\frac{4}{3}$，
∵$tanA=\frac{2tan\frac{A}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{A}{2}}=\frac{4}{3}$，
解得：$tan{\frac{A}{2}}_{1}=-2$，$tan{\frac{A}{2}}_{2}=\frac{1}{2}$，
∵∠A为锐角，
∴$tan\frac{A}{2}=\frac{1}{2}$．

点评 本题结合实际问题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、二次函数的应用、三角函数求值，解决本题的关键是正确的用x表示出矩形的长和宽，然后利用勾股定理，相似三角形以及二次函数的相关知识进行解答．