Question

已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°°，AC=3，BC=4．

（1）求AB的长；

（2）在直线AC、BC上分别取一点M、N，使得△AMN≌△ABN，求CN的长．

Answer 1

考点： 勾股定理；全等三角形的判定． 

分析： （1）由勾股定理求出AB即可；

（2）分两种情况：①当∠BAN=∠MAN，且AM=AB时，则BN=MN，且AM=AB=5，求出CM，设CN=x，在Rt△MCN中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

②当∠BAN=∠MAN，且AM=AB时，则BN=MN，且AM=AB=5，求出CM=8，设CN=x，则BN=MN=x+4，在Rt△MCN中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答： 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，

∴AB===5；

（2）分两种情况：

①如图1所示：

当∠BAN=∠MAN，且AM=AB时，有△AMN≌△ABN，

则BN=MN，且AM=AB=5，

∴CM=2，

设CN=x，

在Rt△MCN中，MC²+CN²=MN²，

即2²+x²=（4﹣x）²，

解得：x=，

∴CN=；

②如图2所示：

当∠BAN=∠MAN，且AM=AB时，有△AMN≌△ABN，

则BN=MN，且AM=AB=5，

∴CM=8，

设CN=x，则BN=MN=x+4，

在Rt△MCN中，MC²+CN²=MN²，

即8²+x²=（4+x）²，

解得：x=6，

∴CN=6；

综上所述：CN的长为或6．