Question

【题目】在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．

（1）当AP平分∠BAC时，试说明AM=AN.

（2）若∠PAC=m，求∠AMQ的大小（用含m的式子表示）．

（3）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】见解析∠AMQ=45°+m.

【解析】

易证明≌,根据全等三角形的性质即可证明.

（2）QH⊥AP，AC⊥BC，∠APC=∠QPH，可得∠CAP=∠Q=m.根据等腰直角三角形的性质可得∠B=45°，根据三角形外角的性质可得∠AMQ=∠Q+∠B=45°+m.

（3）连接AQ，过点M作MN⊥BQ于N.证明△ACP≌△QNM，得到MN=CP=CQ.MN⊥BQ，∠B=45°，根据直角三角形的性质得到即可得到表示线段MB与PQ之间的数量关系

AP平分∠BAC,

在和中，

≌,

（2）∵QH⊥AP，AC⊥BC，∠APC=∠QPH，

∴∠CAP=∠Q=m.

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B=45°，

∴∠AMQ=∠Q+∠B=45°+m.

（3）.理由如下：

连接AQ，过点M作MN⊥BQ于N.

∵AC⊥BC，QC=CP，

∴AQ=AP，

∴∠QAC=∠CAP=m，

∴∠QAM=∠CAB+∠QAC=45°+m=∠AMQ，

∴AQ=QM，

∴AP=QM.

∵AP=QM，∠CAP=∠MQN，∠ACP=∠QNM，

∴△ACP≌△QNM，

∴MN=CP=CQ.

∵MN⊥BQ，∠B=45°，

∴

∴