Question

2．已知：如图所示，P为直径为2的⊙O内一定点，且PO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，线段AB为过点P的任一弦，且它所对的圆心角∠AOB=2θ，再过点A和B作⊙O的切线交于C，设P到AC、BC的距离分别为a、b．求证：a、b是方程2x²-（2ABsinθ）x+sin²θ=0的两个根．

Answer 1

分析 连结CP，OC，OC交AB于H，过点P作直径MN，如图，根据切线长定理和切线的性质得CA=CB，OA⊥CA，OB⊥CB，再判断OC为AB的垂直平分线，得到AH=BH，∠BOH=$\frac{1}{2}$∠AOB=θ，接着利用等角的余角相等得到∠CBA=θ，在Rt△CBH中，根据正弦定义得到CH=BCsinθ，再利用面积法得到$\frac{1}{2}$AC•PE+$\frac{1}{2}$BC•PF=$\frac{1}{2}$CH•AB，整理后得到a+b=ABsinθ；根据正弦定义，在Rt△APE中得到a=APsinθ，在Rt△BPF中得到b=BPsinθ，则ab=AP•BP•sin²θ，然后根据相交弦定理计算出AP•BP=PM•PN=$\frac{1}{2}$，即ab=$\frac{1}{2}$sin²θ，最后利用根与系数的关系写出以a和b为根的一元二次方程即可得到结论．

解答 证明：连结CP，OC，OC交AB于H，过点P作直径MN，如图，
∵CA和CB为⊙O的切线，
∴CA=CB，OA⊥CA，OB⊥CB，
而OA=OB，
∴OC为AB的垂直平分线，
∴AH=BH，
∴∠BOH=$\frac{1}{2}$∠AOB=θ，
∵∠BOH+∠OBH=90°，∠OBH+∠CBA=90°，
∴∠CBA=θ，
在Rt△CBH中，CH=BCsin∠CBH=BCsinθ，
∵S_△CAP+S_△CBP=S_△CAB，
∴$\frac{1}{2}$AC•PE+$\frac{1}{2}$BC•PF=$\frac{1}{2}$CH•AB，
即a•BC+b•BC=BCsinθ•AB，
∴a+b=ABsinθ；
在Rt△APE中，PE=APsin∠EAP，即a=APsinθ，
在Rt△BPF中，PF=PBsin∠PBF，即b=BPsinθ，
∴ab=AP•BP•sin²θ，
∵AP•BP=PM•PN=（OM+OP）（ON-OP）=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=1-（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{1}{2}$，
∴ab=$\frac{1}{2}$sin²θ，
∴以a和b为根的一元二次方程为x²-ABsinθ+$\frac{1}{2}$sin²θ=0，
即2x²-2ABsinθ+sin²θ=0．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质、切线长定理和相交弦定理；灵活应用三角形面积公式和锐角三角函数的定义；会运用根与系数的关系写出以两个数为根的一元二次方程．