Question

14．如图，在平面直角坐标系中，点P是抛物线y=x²+4x+4对称轴上的任意一点，将线段OP绕点P逆时针方向旋转90°得到线段PO′．若点O′落在抛物线上，则点P的坐标是（-2，2）或（-2，-1）．

Answer 1

分析 过O′作O′H⊥x轴于H，过P作PN⊥O′H于N，则四边形PMHN是矩形，得到PN=MH，PM=NH，由线段OP绕点P逆时针方向旋转90°得到线段PO，再通过三角形全等得到PM=PN，OM=O′N，根据函数图形上点的特征表示出点的坐标，代入二次函数的解析式即可得到结果．

解答 解：过O′作O′H⊥x轴于H，过P作PN⊥O′H于N，
设抛物线与轴交于M，则四边形PMHN是矩形，
∴PN=MH，PM=NH，
∵线段OP绕点P逆时针方向旋转90°得到线段PO′，
∴PO=PO′，∠OPO′=90°，
在△PMO与△PNO′中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMO=∠PNO′}\\{∠MPO=∠NPO′}\\{PO=PO′}\end{array}\right.$，
∴△PMO≌△PNO′，
∴PM=PN，OM=O′N，
点P是抛物线y=x²+4x+4对称轴上一点，
∵抛物线y=x²+4x+4的对称轴是x=-2，
∴设P（-2，m），
∴PM=PN=m，OM=O′N=2，
∴O′（m-2，m+2），
∵O′在抛物线上，
∴m+2=（m-2）²+4（m-2）+4，
解得m=2，m=-1，
∴P（-2，2）或P（-2，-1）．
故答案为：（-2，2）或（-2，-1）．

点评 本题考查了坐标与图形的变换-旋转，全等三角形的判定与性质，函数图形上点的特征，正确的画出图形是解题的关键．