Question

【题目】已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为 ．

Answer 1

【答案】y=x2﹣2x﹣3
【解析】解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，

∴A点坐标为（﹣1，0），

解方程组 得 或 ，

∴点C′的坐标为（1，4），

∵点C和点C′关于x轴对称，

∴C（1，﹣4），

设原抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，

把A（﹣1，0）代入得4a﹣4=0，解得a=1，

∴原抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．

所以答案是y=x2﹣2x﹣3．

【考点精析】掌握二次函数的性质和抛物线与坐标轴的交点是解答本题的根本，需要知道增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．