Question

【题目】如图1，AB为的直径，为圆弧上的一点，，垂足为D，AC平分，AB的延长线交直线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若，B为的中点，，垂足为点，求的长；

（3）如图2，连接OD交于点，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）连结OC，如图1，根据平行线的判定得OC∥AD，进而求出DE为⊙O的切线；

（2）如图1，由B为OE的中点，AB为直径得到OB=BE=2，OC=2，在Rt△OCE中，由于OE=2OC，根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OEC=30°，则∠COE=60°，由CF⊥AB得∠OFC=90°，所以∠OCF=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得，；

（3）连结OC，如图2，先证明△OCG∽△DAG，利用相似的性质得，再证明△ECO∽△EDA，利用相似比得到，设⊙O的半径为R，OE=x，代入求得，最后在Rt△OCE中，根据正切的定义求解．

解：（1）连结OC，如图1

∵OA=OC，

∴∠1=∠3，

∵∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴AD∥CO，

∵AD⊥DC，

∴CO⊥DE，

∴DC为⊙O的切线；

（2）解：如图1

直径，B为的中点．

在中，

，；

（3）连结OC，如图2

设的半径为R，，

解得

由勾股定理，得，

在中，．