Question

【题目】正方形ABCD的边长为2，M、N分别为边BC、CD上的动点，且∠MAN＝45°

（1）猜想线段BM、DN、MN的数量关系并证明；

（2）若BM＝CM，P是MN的中点，求AP的长；

（3）M、N运动过程中，请直接写出△AMN面积的最大值　 　和最小值　 　．

Answer 1

【答案】（1）BM+DN＝MN；（2）；（3）2，4﹣4．

【解析】

（1）延长CB到E，使BE＝DN，连接AE，根据SAS证△ABE≌△ADN，推出AE＝AN，∠DAN＝∠BAE，求出∠NAM＝∠MAE，根据SAS证出△NAM≌△EAM，从而得到BM+DN＝MN；

（2）如图2，过点A作AF⊥MN，由AAS可证△ABM≌△AFM，可得AB＝AF＝2，MB＝MF＝1，由勾股定理可求DN＝，即可求PF的长，由勾股定理可求AP的长；（3）由三角形的面积公式可求△AMN面积＝MN，由三角形的三边关系和完全平方公式可求MN的最大值和最小值，即可求解．

解：

（1）BM+DN＝MN．

理由：如图，延长CB至E使得BE＝DN，连接AE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°＝∠ABE，

在△ADN和△ABE中，

，

∴△ABE≌△ADN（SAS），

∴∠BAE＝∠DAN，AE＝AN，

∴∠EAN＝∠BAE+∠BAN＝∠DAN+∠BAN＝90°，

∵∠MAN＝45°，

∴∠EAM＝∠MAN，

∵在△EAM和△NAM中，

，

∴△EAM≌△NAM（SAS），

∴MN＝ME，

∵ME＝BM+BE＝BM+DN，

∴BM+DN＝MN．

（2）如图2，过点A作AF⊥MN，

∵点M是BC的中点，

∴BM＝MC＝BC＝1，

由（1）可知：∠AMB＝∠AMF，∠ABM＝∠AFM＝90°，AM＝AM，

∴△ABM≌△AFM（AAS），

∴AB＝AF＝2，MB＝MF＝1，

∵BM+DN＝MN，

∴DN＝NF，

∵MC2+NC2＝MN2，

∴1+（2﹣DN）2＝（1+DN）2，

∴DN＝，

∴MN＝1+DN＝，

∵P是MN的中点，

∴MP＝，

∴PF＝MF﹣MP＝，

∴AP＝.

（3）∵△AMN面积＝MN×AF，

∴△AMN面积＝MN，

∵MN＝BM+DN，BM+CM＝BC＝2，DN+CN＝CD＝2，

∴MN+CM+CN＝BC+CD＝4，

∴CM+CN＝4﹣MN，

∴2CMCN+CM2+CN2＝（4﹣MN）2＝16+MN2﹣8MN，且CM2+CN2＝MN2，

∴CMCN＝8﹣4MN，

∵（CM﹣CN）2≥0，

∴CM2+CN2≥2CMCN，

∴MN2≥16﹣8MN，

∴（MN+4）2≥32，

∴MN≥﹣4，或MN≤﹣﹣4（舍去），

∴MN的最小值为﹣4，

∴△AMN面积的最小值为﹣4，

∵MN+CM+CN＝4，且CM+CN≤MN，

∴MN≤4﹣MN，

∴MN≤2，

∴MN的最大值为2，

∴△AMN面积的最大值为2；

故答案为2，﹣4．