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【题目】如图1为等腰三角形,,点在线段上(不与重合),以为腰长作等腰直角.

1)求证:

2)连接,若,求的值.

3)如图2,过的延长线于点,过点作,连接,当点在线段上运动时(不与重合),式子的值会变化吗?若不变,求出该值;若变化,请说明理由..

【答案】1)证明见详解;(22;(3)式子值不变,理由见详解.

【解析】

1)根据题目中的信息可以得到AQ=AP,∠QEA与∠ABP之间的关系,∠QAE与∠APB之间的关系,从而可以解答本题;

2)由第一问中的两个三角形全等,可以得到各边之间的关系,然后根据题目中的信息找到PCMB的关系,从而可以解答本题;

3)作合适的辅助线,构造直角三角形,通过三角形的全等可以找到所求问题需要的边之间的关系,从而可以解答本题.

1)证明:∵△ACB为等腰三角形,∠ABC=90°,点P在线段BC上(不与BC重合),以AP为腰长作等腰直角△PAQQEABE

AP=AQ,∠ABQ=QEA=90°,∠QAE+BAP=BAP+APB=90°,

∴∠QAE=APB

在△PAB和△AQE中,

∴△PAB≌△AQEAAS);

2 ∵△PAB≌△AQE

AE=PB

AB=CB

QE=CB

在△QEM和△CBM中,

∴△QEM≌△CBMAAS),

ME=MB

AB=CBAE=PBPC=2PB

BE=PC

PC=2PB

PC=2MB

3)式子的值不会变化.

如下图所示:作HAACQF于点H

QAAPHAACAPPD

∴∠QAH+HAP=HAP+PAD=90°,∠AQH=APD=90°,

∴∠QAH=PAD

∵△PAQ为等腰直角三角形,

AQ=AP

在△AQH和△APD中,

∴△AQH≌△APDASA),

AH=ADQH=PD

HAAC,∠BAC=45°,

∴∠HAF=DAF

在△AHF和△ADF中,

∴△AHF≌△ADFSAS),

HF=DF

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