Question

【题目】如图1．在△ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G、H分别在BC、AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I．若CI＝4，HI＝3，AD．矩形DFGI恰好为正方形．

（1）求正方形DFGI的边长；

（2）如图2，延长AB至P．使得AC＝CP，将矩形EFGH沿BP的方向向右平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？

（3）如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG、DB相交于点M、N，求△MNG′的周长．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）三角形；（3）4．

【解析】

(1)由HI∥AD，得到，求出AD即可解决问题；

(2)如图2中，设点G落在PC时对应的点为G′，点F的对应的点为F′．求出IG′和BD的长比较即可判定；

(3)如图3中，如图将△DMI′绕点D逆时针旋转90°得到△DF′R，此时N、F′、R共线．想办法证明MN=MI′+NF′，即可解决问题.

(1)∵HI∥AD，

∴，

∴，

∴AD＝6，

∴ID＝CD﹣CI＝2，∴正方形的边长为2；

(2)三角形，理由如下：

如图2中，设点G落在PC时对应的点为G′，点F的对应的点为F′．

∵CA＝CP，CD⊥PA，∴∠ACD＝∠PCD，∠A＝∠P，

∵HG′∥PA，

∴∠CHG′＝∠A，∠CG′H＝∠P，

∴∠CHG′＝∠CG′H，∴CH＝CG′，

∴IH＝IG′＝DF′＝3，

∵IG∥DB，∴，

∴，∴DB＝3，

∴DB＝DF′＝3，∴点B与点F′重合，

∴移动后的矩形与△CBP重叠部分是△BGG′，

∴移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形；

(3)如图3中，如图将△DMI′绕点D逆时针旋转90°得到△DF′R，此时N、F′、R共线．

∵∠MDN＝∠NDF+∠MDI′＝∠NDF′+∠DF′R＝∠NDR＝45°，

∵DN＝DN，DM＝DR，

∴△NDM≌△NDR，

∴MN＝NR＝NF′+RF′＝NF′+MI′，

∴△MNG′的周长＝MN+MG′+NG′＝MG′+MI′+NG′+F′R＝2I′G′＝4．