Question

【题目】如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为A，且与y轴相交于C点

（1）求m的值及C点坐标；

（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由

（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q，当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标(直接写出答案)；

Answer 1

【答案】(1)

(2) 存在,

(3)点坐标为()或()

【解析】

将点坐标代入得到的值，再令得到点坐标；

点在直线上方的抛物线上，要使面积最大，则点的位置应在抛物线上且离直线的距离最远处，把直线向上平移和抛物线只有一个公共点时，此时的交点即为点的位置，然后根据二次函数的性质，求出值和点坐标.

连接交于点，根据菱形的性质得到几何关系，用中点坐标公式和系数与直线位置的特殊关系，确定点坐标并求出直线的解析式，联立直线的解析式与抛物线解析式，即可求出点坐标.

解： 将点的坐标代入二次函数，即，解得，故二次函数解析式为，令，解得，故点坐标为;

(2)存在，

理由：，

直线的解析式为，

当直线向上平移单位后和抛物线只有一个公共点时，面积最大，

整理得：

，

如图2、图3所示，连接交于点。

因为四边形是菱形，所以为的中点，

因为点的坐标分别为、，所以由中点坐标公式得点坐标为，

由(2)可知直线的解析式为，

由于，所以设直线的解析式为，

将代入，求得直线的解析式为，

将直线的解析式与抛物线解析式联立得：

，消去得：，

解得：，

将代入直线的解析式得，

将代入直线的解析式得，

故当四边形为菱形时，点坐标为()或().