Question

15．如图，△ABC的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则cos∠BAC等于（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• D． $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$

Answer 1

分析 根据勾股定理，可得AB，AC的长，根据三角形的面积公式，可得CD的长，再根据勾股定理，可得AD的长，根据锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，可得答案．

解答 解：如图，作CD⊥AB于D点，，
由勾股定理，得
AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{C{E}^{2}+A{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
由三角形的面积公式，得
$\frac{1}{2}$AB•DC=$\frac{1}{2}$BC•AE，
即DC=$\frac{4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
由勾股定理，得
AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{8-\frac{4}{5}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
cos∠BAC=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{\frac{6\sqrt{5}}{5}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
故选：D．

点评 本题考查了锐角三角函数的定义，利用了勾股定理，锐角三角函数的定义．