Question

【题目】如图1，在面积为的等腰纸板中，在直角边，上各取一点，，为的中点，将，分别沿，折叠，对应边，分别交，于点，，再将沿折叠，点的对应点落在的内部（如图2所示），翻面画上眼睛和鼻子，得到了一幅可爱的“猫脸图”（如图3所示），若点与点之间的距离为，则五边形的面积为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

连接AD和GH交于点O， B′C′与AD交于点R、GH、，过点H作 HM⊥BC于点M，过点F作 FN⊥BC于点N，由对称性可知，点A′在AD上，∵∠C=45°，∴△HMC、△FNC是等腰直角三角形，因为等腰RtΔABC面积为49cm2，可得AB=AC=7 ，AD=BD=DC=7，
由B′C′=，得C′R =，再由DC′=DC=7，由勾股定理得DR=，所以C′R：RD：C′D=：：7=3:4:5，易得△DHO∽△D C′R，所以HO：OD：DH= C′R：RD：C′D=3:4:5，

设HO=3a，OD=4a，DH=5a，易得四边形ODMH是矩形，△HMC、△FNC是等腰直角三角形，所以DM=OH=3a，HM=OD=MC=4a，而DM+MC=7a=7，解得a=1，即HM=OD=MC=4a=4，DH=5，DM=OH=3a=3，

由折叠得∠1=∠2，所以DH：DC=HF：FC=5：7，又因为FN∥HM，所以HF：FC=MN：NC=5：7，MC：NC=12：7即NC=MC=×4==NF，再根据五边形GHFDE的面积=梯形GHCB -2S△DFC即可解答.

连接AD和GH交于点O， B′C′与AD交于点R、GH、，过点H作 HM⊥BC于点M，过点F作 FN⊥BC于点N，

由对称性可知，点A′在AD上，∵∠C=45°，∴△HMC、△FNC是等腰直角三角形，

∵等腰RtΔABC面积为49cm2，∴AB=AC=7 ，AD=BD=DC=7，
∵B′C′=，∴C′R =，

∵DC′=DC=7，∴由勾股定理得DR=，

∴C′R：RD：C′D=：：7=3:4:5，

∵易得△DHO∽△D C′R

∴HO：OD：DH= C′R：RD：C′D=3:4:5，

设HO=3a，OD=4a，DH=5a，

∵四边形ODMH是矩形，△HMC、△FNC是等腰直角三角形，

∴DM=OH=3a，HM=OD=MC=4a，

∵DM+MC=7a=7，∴a=1，即HM=OD=MC=4a=4，DH=5，DM=OH=3a=3，

∵∠1=∠2，

∴DH：DC=HF：FC=5：7，

又∵FN∥HM，

∴HF：FC=MN：NC=5：7，

∴MC：NC=12：7即NC=MC=×4==NF，

∴五边形GHFDE的面积=梯形GHCB -2S△DFC=(6+14)×4-2××7×=40-=.

故答案为：.