Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，∠ADB的角平分线与AB相交于点F，与CB的延长线相交于点E连接AE．

（1）求证：四边形AEBD是菱形．

（2）若四边形ABCD是菱形，DC＝10，则菱形AEBD的面积是　 　．（直接填空，不必证明）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由角平分线的性质和平行线的性质可得∠BED=∠BDE，可得BE=BD，即可证四边形AEBD是平行四边形，且DB=DA，可得结论；
（2）由菱形的性质可得AD=AB=10=DB，AB⊥DE，由等边三角形的性质和直角三角形性质可得AF=5，DF=，即可求菱形AEBD的面积．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠ADE＝∠DEB，

∵DE平分∠ADB，

∴∠ADE＝∠BDE，

∴∠BED＝∠BDE，

∴BE＝BD，且BD＝DA，

∴AD＝BE，且AD∥BE，

∴四边形ADBE是平行四边形，且AD＝BD

∴四边形AEBD是菱形；

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD＝CD＝10，且AD＝BD，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠BAD＝60°，

∵四边形AEBD是菱形，

∴AF＝BF，AB⊥DE，EF＝DF，

∴∠ADF＝30°，

∴AF＝5，DF＝5，

∴DE＝10，

∴菱形AEBD的面积＝×10×10＝50，

故答案为：50.