Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点，C在AB的延长线上，AD⊥CE交CE的延长线于点D，且AE平分∠DAC．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AB＝6，∠ABE＝60°，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）利用角平分线的性质得到∠OAE＝∠DAE，再利用半径相等得∠AEO＝∠OAE，等量代换即可推出OE∥AD，即可解题，（2）根据30°的三角函数值分别在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°， 在Rt△ADE中，AD=cos30°×AE即可解题.

证明：如图，连接OE，

∵AE平分∠DAC，

∴∠OAE＝∠DAE．

∵OA＝OE，

∴∠AEO＝∠OAE．

∴∠AEO＝∠DAE．

∴OE∥AD．

∵DC⊥AC，

∴OE⊥DC．

∴CD是⊙O的切线．

（2）解：∵AB是直径，

∴∠AEB＝90°，∠ABE＝60°．

∴∠EAB＝30°，

在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°=6×=，

在Rt△ADE中，∠DAE＝∠BAE＝30°，

∴AD=cos30°×AE=×=.