Question

12．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A₁B₁C₁D₁；在等腰直角三角形OA₁B₁中，作内接正方形A₂B₂C₂D₂；在等腰直角三角形OA₂B₂中，作内接正方形A₃B₃C₃D₃…；依次作下去，则第2015个正方形A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅D₂₀₁₅的边长是$（\frac{1}{3}）^{2015}$．

Answer 1

分析 根据题意可知∠A=45°，∠AC₁A₁=90°，故此△AC₁A₁是等腰直角三角形，同理可证明△BD₁B₁是等腰直角三角形，由A₁B₁C₁D₁是正方形可知AC₁=C₁D₁=D₁B，从而得到${C}_{1}{D}_{1}=\frac{1}{3}AB$，同理：${C}_{2}{D}_{2}=\frac{1}{3}{A}_{1}{B}_{1}$，依据规律可求得正方形A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅D₂₀₁₅的边长=$（\frac{1}{3}）^{2015}$．

解答 解：∵△ABO是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°．
∵四边形A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴∠AC₁A₁=90°．
∵∠A=45°，∠AC₁A₁=90°，
∴△AC₁A₁是等腰直角三角形．
同理△BD₁B₁是等腰直角三角形．
∴${C}_{1}{D}_{1}=\frac{1}{3}AB$．
同理：${C}_{2}{D}_{2}=\frac{1}{3}{A}_{1}{B}_{1}$，
…
A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅D₂₀₁₅的边长=$（\frac{1}{3}）^{2015}$．
故答案为：$（\frac{1}{3}）^{2015}$．

点评 本题主要考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质和判定，证得${C}_{1}{D}_{1}=\frac{1}{3}AB$是解题的关键．