Question

如图所示，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=-x²+bx+c 经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若P是抛物线上一点，且S_△ABP=

1

2

S_△ABC，这样的点P有几个请直接写出它们的坐标．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）先根据直线y=-x+3求出B、C两点的坐标，然后将它们代入抛物线中即可求出待定系数的值．
（2）令y=0，则-x²+2x+3=0，解方程即可求得；
（3）根据已知求得P的纵坐标，代入y=-x²+2x+3即可求得P的坐标．

解答：解：（1）直线y=-x+3与坐标轴的两个交点坐标分别是
B（3，0），C（0，3），
∵抛物线y=-x²+bx+c经过B、C两点，
∴c=3
∴-9+3b+3=0，
得到b=2，
∴抛物线的解析式．
（2）令y=0，则-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A的坐标为（-1，0），
∴AB=4，
∴S_△ABC=

1

2

AB•y_c=

1

2

×4×3=6；
（3）设P的纵坐标为n，
∵S_△ABP=

1

2

S_△ABC，
∴S_△ABP=3，
即

1

2

AB•|n|=3，解得n=±

3

2

，
∴±

3

2

=-x²+2x+3，解x=

2± 10

2

或x=

2± 22

2

，
∴这样的点P有4个，它们分别是（

2+ 10

2

，

3

2

），（

2- 10

2

，

3

2

），（

2+ 22

2

，-

3

2

），（

2- 22

2

，-

3

2

）．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法、图形面积的求法等知识点．考查了学生数形结合的数学思想方法．