Question

【题目】在梯形中，，，，，，点E、F分别在边、上，，点P与在直线的两侧，，，射线、与边分别相交于点M、N，设，．

（1）求边的长；

（2）如图，当点P在梯形内部时，求关于x的函数解析式，并写出定义域；

（3）如果的长为2，求梯形的面积．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x＜)；（2）或32

【解析】

（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC可得到HC的长度，从而得出HB的长，进而得出AD的长；

（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ、PR的长，然后利用EB=PQ+PR得去x、y的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；

（3）存在2种情况，一种是点P在梯形内，一种是在梯形外，分别根y的值求出x的值，然后根据梯形面积求解即可．

（1）如下图，过点D作BC的垂线，交BC于点H

∵∠C=45°，DH⊥BC

∴△DHC是等腰直角三角形

∵四边形ABCD是梯形，∠B=90°

∴四边形ABHD是矩形，∴DH=AB=8

∴HC=8

∴BH=BC－HC=6

∴AD=6

（2）如下图，过点P作EF的垂线，交EF于点Q，反向延长交BC于点R，DH与EF交于点G

∵EF∥AD,∴EF∥BC

∴∠EFP=∠C=45°

∵EP⊥PF

∴△EPF是等腰直角三角形

同理,还可得△NPM和△DGF也是等腰直角三角形

∵AE=x

∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x

∵PQ⊥EF,∴PQ=QE=QF

∴PQ=

同理，PR=

∵AB=8，∴EB=8－x

∵EB=QR

∴8－x=

化简得：y=－3x+10

∵y＞0，∴x＜

当点N与点B重合时，x可取得最小值

则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+，解得x=1

∴1≤x＜

（3）情况一：点P在梯形ABCD内，即（2）中的图形

∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x==AE

∴

情况二：点P在梯形ABCD外，图形如下：

与（2）相同，可得y=3x－10

则当y=2时，x=4，即AE=4

∴