Question

5．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，点E为BC的延长线上一点，BD=DE，
（1）求：∠CDE的度数；
（2）若AB=6，求△BDE的周长．

Answer 1

分析 （1）由已知条件可得∠DBC=30°，因为△BDE是等腰三角形，所以∠BDE=120°，进而可求出∠CDE的度数；
（2）首先利用勾股定理求出BD的长，由（1）可知△CDE是等腰三角形，CD=CE=$\frac{1}{2}$BC，进而可求出△BDE的周长．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，
∴∠DBC=30°，∠BDC=90°，
∵BD=DE，
∴∠BDE=120°，
∴∠CDE=30°；

（2）∵BD⊥AC，AB=6，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∵∠CDE=∠E=30°，
∴CD=CE=3，
∴△BDE的周长=BD+DE+BE=3$\sqrt{3}$+3$\sqrt{3}$+6+3=9+6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，利用勾股定理求出BD的长是解题关键．