Question

10．对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定a⊙b=|a+b|+|a-b|．
（1）计算2⊙（-3）的值；
（2）①当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简a⊙b；
②当a⊙b=a⊙c时，是否一定有b=c或者b=-c？若是，则说明理由；若不是，则举例说明．
（3）已知（a⊙a）⊙a=8+a，求a的值．

Answer 1

分析 （1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）①根据数轴上点的位置判断出a+b与a-b的正负，利用绝对值的代数意义计算即可得到结果；
②当a⊙b=a⊙c时，不一定有b=c或者b=-c，举例即可；
（3）分类讨论a的正负，利用新定义将已知等式化简，即可求出a的值．

解答 解：（1）根据题中的新定义得：2⊙（-3）=|2+（-3）|+|2-（-3）|=1+5=6；
（2）①从a，b在数轴上的位置可得a+b＜0，a-b＞0，
∴a⊙b=|a+b|+|a-b|=-（a+b）+（a-b）=-2b；
②由a⊙b=a⊙c得：|a+b|+|a-b|=|a+c|+|a-c|，
不一定有b=c或者b=-c，
例如：取a=5，b=4，c=3，则|a+b|+|a-b|=|a+c|+|a-c|=10，
此时等式成立，但b≠c且b≠-c；
（3）当a≥0时，（a⊙a）⊙a=2a⊙a=4a=8+a，
解得：a=$\frac{8}{3}$；
当a＜0时，（a⊙a）⊙a=（-2a）⊙a=-4a=8+a，
解得：a=-$\frac{8}{5}$．

点评 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．