Question

6．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上，且∠DOE=90°，DE交OC于P，下列结论正确的共有（　　）
①图中的全等三角形共有3对；
②AD=CE；
③∠CDO=∠BEO；
④OC=DC+CE；
⑤△ABC的面积是四边形DOEC面积的2倍．

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质得出∠A=∠B=45°，CO=AO=BO，CO⊥AB，∠ACO=∠BCO=45°，求出∠A=∠ECO，∠B=∠DCO，∠COA=∠COB=90°，∠AOD=∠COE，∠COD=∠BOE，根据ASA推出△COE≌△AOD，△COD≌△BOE，根据全等三角形的性质得出S_△COE=S_△AOD，AD=CE，∠CDO=∠BEO，再逐个判断即可．

解答 解：∵在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是AB边上的中点，
∴∠A=∠B=45°，CO=AO=BO，CO⊥AB，∠ACO=∠BCO=45°，
∴∠A=∠ECO，∠B=∠DCO，∠COA=∠COB=90°，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOD=∠COE=90°-∠COD，∠COD=∠BOE=90°-∠COE，
在△COE和△AOD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECO=∠A}\\{CO=AO}\\{∠COE=∠DOA}\end{array}\right.$
∴△COE≌△AOD（ASA），
同理△COD≌△BOE，
∴S_△COE=S_△AOD，AD=CE，∠CDO=∠BEO，△ABC的面积是四边形DOEC面积的2倍，
在△AOC和△BOC中
$\left\{\begin{array}{l}{CO=CO}\\{AC=BC}\\{AO=BO}\end{array}\right.$
∴△AOC≌△BOC，
∵AD=CE，
∴CD+CE=AC，
∵∠COA=90°，
∴CO＜AC，
∴OC=DC+CE错误；
即①②③⑤正确，④错误；
故选C．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，能求出△COE≌△AOD和△COD≌△BOE是解此题的关键．