Question

2．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2$\sqrt{2}$，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，则C′B的长为（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$-2
• B． $\sqrt{3}$
• C． 4-2$\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 如图，作辅助线；证明△ABB′为等边三角形，此为解决问题的关键性结论；证明△BB′C′≌△BAC，得到∠B′BC′=∠ABC′，即可证明BC'是等腰三角形边上的角平分线，即高线，延长BC'交AB'于点D，则BC'=BD-C'D．

解答 解：如图，连接BB′，延长BC'交AB'于点D；由题意得：
AB=AB′，∠BAB′=60°，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠B′BA=60°，BB′=BA；
在△BB′C′与△BAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BB′=BA}\\{BC′=BC′}\\{B′C′=AC′}\end{array}\right.$，
∴△BB′C′≌△BAC（SSS），
∴∠B′BC′=∠ABC′=30°，即BD是等边△ABB′边上的高．
又∵AB′=AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=4，
∴C′D=$\frac{1}{2}$AB′=2，BD=AB•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．
∴BC′=BD-C′D=2$\sqrt{3}$-2．
故选A．

点评 本题主要考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定及其性质的应用等几何知识点问题．解题的关键是作辅助线；灵活运用旋转变换的性质、全等三角形的判定来分析、解答．