Question

19．已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，交y轴于C点，已知抛物线的对称轴为x=1，点B（3，0），点C（0，-3），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线，与抛物线交于点F，试求△BCF的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）设该抛物线解析式为y=a（x-1）²+h．把点B（3，0），点C（0，-3）的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组解答问题；
（2）如图1，在抛物线对称轴上存在一点P，使得△PAC周长最小，由题意可知A和B关于对称轴x=1对称，连接BC交直线x=1于P，此时PA+PC的值最小，即△PAC的周长的值最小，由待定系数法求得直线BC的解析式，把x=1即可求得点P的纵坐标．
（3）如图2，设E（x，x-3），则点F（x，x²-2x-3），根据三角形的面积公式得到面积S与x的二次函数关系式，由配方法求得最值即可．

解答 解：（1）设该抛物线解析式为y=a（x-1）²+h（a≠0），
把（3，0），C（0，-3）分别代入，得到：
$\left\{\begin{array}{l}{0=a（3-1）^{2}+h}\\{-3=a（0-1）^{2}+h}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{h=-4}\end{array}\right.$，
故该抛物线的解析式为：y=（x-1）²-4，或y=x²-2x-3；

（2）存在．理由如下：
由（1）知，抛物线解析式为y=x²-2x-3，则C（0，-3）．
如图1，设直线BC的解析式为y=kx-3（k≠0）．把B（3，0）代入，得
0=3k-3，
解得k=1，
所以直线BC的解析式为：y=x-3．
又∵点P在直线x=1上，
∴y=1-3=-2，
∴点P的坐标是：P（1，-2）；

（3）设△BCF的面积为S，E（x，x-3），F（x，x²-2x-3），
则EF=x-3-（x²-2x-3）=-x²+3x．
依题意得：S=$\frac{1}{2}$（-x²+3x）×3=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
即S=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
因为该抛物线开口方向向下，则当x=$\frac{3}{2}$时，S_最大值=$\frac{27}{8}$．

点评 本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法以及待定系数法求一次函数解析式，综合性比较强，需要学生熟练掌握二次函数、一次函数以及三角形的面积的求法等知识点，另外，注意“数形结合”数学思想的应用．