Question

3．如图，⊙O的半径为4，OA=8，AB切⊙O于B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为$\frac{8}{3}$π．

Answer 1

分析 △OBC与△BCA是同底等高，则它们的面积相等，因此阴影部分的面积实际是扇形OCB的面积；扇形OCB中，已知了半径的长，关键是圆心角∠COB的度数．在Rt△ABO中，根据OB、OA的长，即可求得∠BOA的度数；由于OA∥BC，也就求得了∠OBC的度数，进而可在△COB中求出∠COB的度数，由此可根据扇形的面积公式求出阴影部分的面积．

解答 解：连接OB、OC
OB是半径，AB是切线，
∵OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∴sinA=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A=30°，
∵OC=OB，BC∥OA，
∴∠OBC=∠BOA=60°，
∴△OBC是等边三角形，
因此S_阴影=S_扇形CBO=$\frac{60π×{4}^{2}}{360}$=$\frac{8}{3}$π．
故答案为$\frac{8}{3}$π．

点评 本题利用了平行线的性质，同底等高的三角形面积相等，切线的概念，正弦的概念，扇形的面积公式求解．