Question

18．如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t秒（0＜t＜$\frac{10}{4}$）．解答如下问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BO？
（2）设△AQP的面积为S，
①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则新坐标（x₂-x₁，y₂-y₁）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．

Answer 1

分析 （1）如图①所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AO}$，求出t的值；
（2）①求S关系式的要点是求得△AQP的高，如图②所示，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造平行线PD∥BO，由线段比例关系$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PD}{OB}$求得PD，从而S可求出，S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值；
②本问关键是求出点P、Q的坐标．当S取最大值时，可推出此时PD为△OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x₂-x₁，y₂-y₁），即可求解．

解答 解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8，
∴AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10-3t．
∵PQ∥BO，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AO}$，即$\frac{10-3t}{10}$=$\frac{2t}{8}$，
解得t=$\frac{20}{11}$，
∴当t=$\frac{20}{11}$秒时，PQ∥BO．

（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．
①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PD}{OB}$，即$\frac{10-3t}{10}$=$\frac{PD}{6}$，解得PD=6-$\frac{9}{5}$t．
S=$\frac{1}{2}$AQ•PD=$\frac{1}{2}$•2t•（6-$\frac{9}{5}$t）=6t-$\frac{9}{5}$t²=-$\frac{9}{5}$（t-$\frac{5}{3}$）²+5，
∴S与t之间的函数关系式为：S=-$\frac{9}{5}$（t-$\frac{5}{3}$）²+5（0＜t＜$\frac{10}{4}$），
当t=$\frac{5}{3}$秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）．
②如图②所示，当S取最大值时，t=$\frac{5}{3}$，
∴PD=6-$\frac{9}{5}$t=3，
∴PD=$\frac{1}{2}$BO，
又∵PD∥BO，
∴此时PD为△OAB的中位线，则OD=$\frac{1}{2}$OA=4，
∴P（4，3）．
又∵AQ=2t=$\frac{10}{3}$，
∴OQ=OA-AQ=$\frac{14}{3}$，∴Q（$\frac{14}{3}$，0）．
依题意，“向量PQ”的坐标为（$\frac{14}{3}$-4，0-3），即（$\frac{2}{3}$，-3）．
∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（$\frac{2}{3}$，-3）．

点评 本题是典型的动点型问题，解题过程中，综合利用了平行线分线段成比例定理（或相似三角形的判定与性质）、勾股定理、二次函数求极值及三角形中位线性质等知识点．第（2）②问中，给出了“向量PQ”的坐标的新定义，为题目增添了新意，不过同学们无须为此迷惑，求解过程依然是利用自己所熟悉的数学知识．