【题目】如图1,抛物线:与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.已知点A的坐标为(﹣1,0),点O为坐标原点,OC=3OA,抛物线的顶点为G.
(1)求出抛物线的解析式,并写出点G的坐标;
(2)如图2,将抛物线向下平移k(k>0)个单位,得到抛物线,设与x轴的交点为、,顶点为,当△是等边三角形时,求k的值:
(3)在(2)的条件下,如图3,设点M为x轴正半轴上一动点(介于O与B之间),过点M作x轴的垂线分别交抛物线、于P、Q两点,是否存在M点,使得以A、Q、M为顶点的三角形与以P、M、B为顶点的三角形相似,若存在,求出点M的坐标:若不存在,请说明理由.
【答案】(1), G的坐标为(1,4)(2)k=1;(3)M点的坐标为
【解析】
(1)由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标,将A、C坐标代入解析式求解可得;
(2)设抛物线C2的解析式为y=-x2+2x+3-k,即y=-(x-1)2+4-k,′作G′D⊥x轴于点D,设B′D=m,由等边三角形性质知点B′的坐标为(m+1,0),点G′的坐标为(1,m),代入所设解析式求解可得;
(3)设M(a,0),则P(a,-a2+2a+3)、Q(a,-a2+2a+2),分别用含a的式子表示AM,BM,PM,QM.再由题意分两种情况相似:①△AMQ∽△BMP,②△AMQ∽△PMB.根据对应边成比例建立关于a的方程,解之求得a的值从而进一步求解.
解:(1)∵点A的坐标为(﹣1,0),
∴OA=1,
∴OC=3OA,
∴点C的坐标为(0,3),
将A、C坐标代入,得:
解得:,
∴抛物线C1的解析式为,
所以点G的坐标为(1,4).
(2)设抛物线C2的解析式为,即,
过点G′作轴于点D,设,
∵△为等边三角形,
∴,
则点的坐标为(m+1,0),点的坐标为(1,m),
将点、的坐标代入,得:
,
解得:(舍去)
∴k=1;
(3)设M(,0),则,
∵M介于O与B之间,∴
∵A(-1,0),B(3,0)
分两种情况:
当△AMQ∽△BMP时,有,可得
(舍去)
∴
②当△AMQ∽△PMB时,有,可得
整理得
解得:
∴
综上所述M点的坐标为
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC为直径作⊙O,交AB于D,过点O作OE∥AB,交BC于E.
(1)求证:ED为⊙O的切线;
(2)如果⊙O的半径为,ED=2,延长EO交⊙O于F,连接DF、AF,求△ADF的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)首先连接OD,由OE∥AB,根据平行线与等腰三角形的性质,易证得≌ 即可得,则可证得为的切线;
(2)连接CD,根据直径所对的圆周角是直角,即可得 利用勾股定理即可求得的长,又由OE∥AB,证得根据相似三角形的对应边成比例,即可求得的长,然后利用三角函数的知识,求得与的长,然后利用S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案.
试题解析:(1)证明:连接OD,
∵OE∥AB,
∴∠COE=∠CAD,∠EOD=∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠COE=∠DOE,
在△COE和△DOE中,
∴△COE≌△DOE(SAS),
∴ED⊥OD,
∴ED是的切线;
(2)连接CD,交OE于M,
在Rt△ODE中,
∵OD=32,DE=2,
∵OE∥AB,
∴△COE∽△CAB,
∴AB=5,
∵AC是直径,
∵EF∥AB,
∴S△ADF=S梯形ABEFS梯形DBEF
∴△ADF的面积为
【题型】解答题
【结束】
25
【题目】【题目】已知,抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且a<b.
(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示);
(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式;
(3)a=﹣1时,直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称,现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个不同的公共点,试求t的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,点E在BO上,EF垂直平分AB,垂足为F.
(1)求证:△BEF ∽△DCO;
(2)若AB=10,AC=12,求线段EF的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,直线y=x分别与双曲线y=和y=交于第一象限内的点A和B,且OA=2AB,将直线y=x向左平移4个单位后,分别与x轴,y轴交于点D、E,与双曲线y=交于点C,△OBC的面积为3.
(1)求m,n的值;
(2)点C到直线AB的距离是 .
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达处时,测得小岛位于它的北偏东方向,且与航母相距80海里,再航行一段时间后到达B处,测得小岛位于它的北偏东方向.如果航母继续航行至小岛的正南方向的处,求还需航行的距离的长.
(参考数据:,,,,,)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,⊙O的切线AP与OC的延长线相交于点P,∠P=∠BCO.
(1)求证:AC=PC;
(2)若AB=6,求AP的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某青春党支部在精准扶贫活动中,给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种.已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元,用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同.
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元?
(2)在实际帮扶中,他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵,此时,甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%,乙种树苗的售价不变,如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元,那么他们最多可购买多少棵乙种树苗?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】我们常见的汽车玻璃升降器如图①所示,图②和图③是升降器的示意图,其原理可以看作是主臂PB绕固定的点O旋转,当端点P在固定的扇形齿轮上运动时,通过叉臂式结构(点B可在MN上滑动)的玻璃支架MN带动玻璃沿导轨作上下运动而达到玻璃升降目的.点O和点P,A,B在同一直线上.当点P与点E重合时,窗户完全闭合(图②),此时∠ABC=30°;当点P与点F重合时,窗户完全打开(图③).已知的半径OP=5cm,=cm,OA=AB=AC=20cm.
(1)当窗户完全闭合时,OC=_____cm.
(2)当窗户完全打开时,PC=_____cm.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com