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【题目】如图1,抛物线x轴交于AB两点,与y轴交于点C.已知点A的坐标为(﹣10),点O为坐标原点,OC=3OA,抛物线的顶点为G

(1)求出抛物线的解析式,并写出点G的坐标;

(2)如图2,将抛物线向下平移kk>0)个单位,得到抛物线,设x轴的交点为,顶点为,当△是等边三角形时,求k的值:

(3)在(2)的条件下,如图3,设点Mx轴正半轴上一动点(介于O与B之间),过点Mx轴的垂线分别交抛物线PQ两点,是否存在M点,使得以AQM为顶点的三角形与以PMB为顶点的三角形相似,若存在,求出点M的坐标:若不存在,请说明理由.

【答案】1, G的坐标为(14)(2k=1;(3M点的坐标为

【解析】

1)由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标,将AC坐标代入解析式求解可得;
2)设抛物线C2的解析式为y=-x2+2x+3-k,即y=-x-12+4-kG′Dx轴于点D,设B′D=m,由等边三角形性质知点B′的坐标为(m+10),点G′的坐标为(1m),代入所设解析式求解可得;
3)设Ma0),则Pa-a2+2a+3)、Qa-a2+2a+2),分别用含a的式子表示AM,BM,PM,QM.再由题意分两种情况相似:①AMQBMP,AMQPMB.根据对应边成比例建立关于a的方程,解之求得a的值从而进一步求解.

解:(1)∵点A的坐标为(﹣10),

OA=1

OC=3OA

∴点C的坐标为(03),

AC坐标代入,得:

解得:

∴抛物线C1的解析式为

所以点G的坐标为(14).

2)设抛物线C2的解析式为,即

过点G轴于点D,设

∵△为等边三角形,

则点的坐标为(m+10),点的坐标为(1m),

将点的坐标代入,得:

解得:(舍去)

k=1

3)设M0),则

M介于OB之间,∴

A(-1,0),B(3,0)

分两种情况:

AMQBMP时,有,可得

(舍去)

②当AMQPMB时,有,可得

整理得

解得:

综上所述M点的坐标为

练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在RtABC中,∠C=90°,以AC为直径作⊙O,交ABD,过点OOEAB,交BCE.

(1)求证:ED为⊙O的切线;

(2)如果⊙O的半径为,ED=2,延长EO交⊙OF,连接DF、AF,求ADF的面积.

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】试题分析:(1)首先连接OD,由OEAB,根据平行线与等腰三角形的性质,易证得 即可得,则可证得的切线;
(2)连接CD,根据直径所对的圆周角是直角,即可得 利用勾股定理即可求得的长,又由OEAB,证得根据相似三角形的对应边成比例,即可求得的长,然后利用三角函数的知识,求得的长,然后利用SADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案.

试题解析:(1)证明:连接OD

OEAB

∴∠COE=CADEOD=ODA

OA=OD,

∴∠OAD=ODA

∴∠COE=DOE

在△COE和△DOE中,

∴△COE≌△DOE(SAS),

EDOD

ED的切线;

(2)连接CD,交OEM

RtODE中,

OD=32,DE=2,

OEAB

∴△COE∽△CAB

AB=5,

AC是直径,

EFAB

SADF=S梯形ABEFS梯形DBEF

∴△ADF的面积为

型】解答
束】
25

【题目】【题目】已知,抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且a<b.

(1)求ba的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示);

(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求DMN的面积与a的关系式;

(3)a=﹣1时,直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称,现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个不同的公共点,试求t的取值范围.

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【题目】如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,点EBO上,EF垂直平分AB,垂足为F

1)求证:△BEF ∽△DCO

2)若AB=10AC=12,求线段EF的长.

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【题目】如图,直线yx分别与双曲线yy交于第一象限内的点AB,且OA2AB,将直线yx向左平移4个单位后,分别与x轴,y轴交于点DE,与双曲线y交于点COBC的面积为3

1)求mn的值;

2)点C到直线AB的距离是   

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【题目】由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于20185月成功完成第一次海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达处时,测得小岛位于它的北偏东方向,且与航母相距80海里,再航行一段时间后到达B处,测得小岛位于它的北偏东方向.如果航母继续航行至小岛的正南方向的处,求还需航行的距离的长.

(参考数据:

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【题目】如图,△ABC内接于OABO的直径,O的切线APOC的延长线相交于点P,∠P=∠BCO

1)求证:ACPC

2)若AB6,求AP的长.

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【题目】某青春党支部在精准扶贫活动中,给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种.已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元,用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同.

(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元?

(2)在实际帮扶中,他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵,此时,甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%,乙种树苗的售价不变,如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元,那么他们最多可购买多少棵乙种树苗?

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【题目】我们常见的汽车玻璃升降器如图①所示,图②和图③是升降器的示意图,其原理可以看作是主臂PB绕固定的点O旋转,当端点P在固定的扇形齿轮上运动时,通过叉臂式结构(点B可在MN上滑动)的玻璃支架MN带动玻璃沿导轨作上下运动而达到玻璃升降目的.点O和点PAB在同一直线上.当点P与点E重合时,窗户完全闭合(图②),此时∠ABC30°;当点P与点F重合时,窗户完全打开(图③).已知的半径OP5cmcmOAABAC20cm

1)当窗户完全闭合时,OC_____cm

2)当窗户完全打开时,PC_____cm

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