Question

5．如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l经过点C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E．
（1）证明：△ACD≌△CBE；
（2）求证：DE=AD+BE；
（3）当直线l经过△ABC内部时，其他条件不变，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，这时DE、AD、BE有什么关系？证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°．由余角的性质得到∠ACD=∠CBE，即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到CD=BE，AD=CE，由线段的和差即可得到结论；
（3）根据等腰三角形的性质得到AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，根据余角的性质得到∠CAD=∠BCE，推出△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质和线段的和差即可得到结论．

解答 （1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，AD⊥l，BE⊥l，
∴AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°．
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠DAC+∠ADC，
∵∠ACB=∠ADC
∴∠ACB+∠BCE=∠DAC+∠ADC．
∴∠BCE=∠DAC，即∠ACD=∠CBE，
在△ACD与△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB}\\{∠ACD=∠CBE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB；

（2）证明：∵△ACD≌△CBE，
∴CD=BE，AD=CE，
∵DE=CD+CE，
∴DE=AD+BE；

（3）解：（2）中的结论不成立，
∵AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，
又∠ACE=90°-∠BCE，∠EBC=90°-∠BCE，
∴∠ACE=∠EBC，即∠CAD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB}\\{∠CAD=∠BCE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴CD=BE，AD=CE，
∵DE=CE-CD，
∴DE=AD-BE．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．