Question

3．在△ABC中，∠BAC=90°． 
（1）如图1，直线l是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线l的对称点A′，连接A′C，A′B，A′C与AB交于点E；
（2）将图1中的直线A′B沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于点F，过点F作直线AB的垂线，垂足为点H．
①如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数量关系，并证明；
②若点D在线段EC的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据轴对称的性质画出即可；
（2）过点F作FG⊥CA于点G，求出四边形HFGA为矩形．推出FH=AG，FG∥AB求出∠GFC=∠EBC，根据线段垂直平分线的性质得出BE=EC，求出∠ECB=∠EBC=∠GFC，∠FDC=∠A=90°，∠FDC=∠FGC=90°，根据AAS推出△FGC≌△CDF，推出CG=FD即可；
（3）过F作FH⊥BA于H，过点C作CG⊥FH于G，求出四边形ACGH为矩形．推出AC=GH，CG∥AB，证△FGC≌△CDF，根据全等三角形的性质得出FG=FD，即可得出答案．

解答 解：（1）如图：；

（2）①DF+FH=CA，
证明：过点F作FG⊥CA于点G，
∵FH⊥BA于H，∠A=90°，FG⊥CA，
∴∠A=∠FGA=∠FHA=90°，
∴四边形HFGA为矩形．
∴FH=AG，FG∥AB，
∴∠GFC=∠EBC，
∵直线l是BC的垂直平分线，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
由（1）和平移可知，
∠ECB=∠EBC=∠GFC，
∠FDC=∠A=90°，
∴∠FDC=∠FGC=90°．
∵在△FGC和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠GFC=∠DCF}\\{∠FGC=∠CDF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$
∴△FGC≌△CDF，
∴CG=FD，
∴DF+FH=GC+AG，
即DF+FH=AC；

②解：FH-DF=AC，
理由是：过F作FH⊥BA于H，过点C作CG⊥FH于G，
∵FH⊥BA于H，∠BAC=90°，CG⊥FH，
∴∠CAH=∠CGH=∠FHA=90°，
∴四边形ACGH为矩形．
∴AC=GH，CG∥AB，
∴∠GCF=∠EBC，
∵直线l是BC的垂直平分线，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB=∠FCD，
∴∠GCF=∠FCD，
由（1）和平移可知，∠FDC=∠A=90°，
∴∠FDC=∠FGC=90°．
∵在△FGC和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠GFC=∠DCF}\\{∠FGC=∠CDF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$
∴△FGC≌△CDF，
∴FG=FD，
∵FH-FG=GH，
∴FH-DF=AC．

点评 本题考查了平移的性质，线段垂直平分线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，此题是一道综合性比较强的题目，难度偏大．