Question

9．如图，东站枢纽建设要新建一条从M地到N地的公路，测得N点位于M点的南偏东30°，A点位于M点的南偏东60°，以A点为中心，半径为500米的圆形区域为文物保护区，又在B点测得BA的方向为南偏东75°，量得MB=400米，请计算后回答公路是否会穿越文物保护区（参考数据：$\sqrt{3}$≈1.732，$\sqrt{2}$≈1.414）

Answer 1

分析 过点A作AC⊥BN于C，利用三角函数求出AC的长，与500米进行比较就可以求解．

解答 解：过A作AC⊥BN于C，
由题意得∠CMA=30°，∠CBA=75°-30°=45°，MB=400m，
设AC=xm，
在Rt△AMC中，$\frac{AC}{MC}=tan{30^0}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，$MC=\sqrt{3}x$，
所以$BC=MC-MB=\sqrt{3}x-400$，
在Rt△ABC中，$\frac{AC}{BC}=1$，
∴$\sqrt{3}x-400=x$，
∴$x=\frac{400}{{\sqrt{3}-1}}=200（\sqrt{3}+1）≈200（1.732+1）=546.4（m）$，
因为AC=546.4m＞500m，
所以公路不会穿过文物保护区．

点评 考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．