Question

已知圆O与△ABC的BC，AC，AB边相切，切点分别是点D，E，F，求证：∠FDE=90°-

1

2

∠A．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：证明题

分析：根据切线的性质得OE⊥AC，OF⊥AB，则∠OEA=∠OFA=90°，于是根据四边形内角和得到∠EOF=180°-∠A，再根据圆周角定理得∠EOF=2∠EDF，然后利用等量代换即可得到结论．

解答：证明：连接OE、OF，如图，
∵圆O与△ABC的BC，AC，AB边相切，切点分别是点D，E，F，
∴点D、E、F都在⊙O上，OE⊥AC，OF⊥AB，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
∴∠EOF+∠A=180°，即∠EOF=180°-∠A，
∵∠EOF=2∠EDF，
∴2∠EDF=180°-∠A，
∴∠FDE=90°-

1

2

∠A．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．