Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．
（1）求AD的长；
（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,直角梯形

专题：

分析：（1）过C作CE⊥AB于点E，在△CEB中可求得CE，即可求得AD的长；
（2）因为△APD为直角三角形，所以△PBC也为直角三角形，分∠PCB=90°和∠CPB=90°两种情况进行讨论求解即可．

解答：解：（1）如图，过C作CE⊥AB于点E，

则四边形AECD为矩形，
∴AD=CE，
在Rt△BEC中，BC=4，∠B=60°，
∴CE=BC•sin60°=4×

3

2

=2

3

；
（2）存在．
若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，则△PCB必有一个角是直角．
①当∠PCB=90°时，
在Rt△BCP中，∠B=60°，BC=4，
可求得BP=8，此时AP=2，
在Rt△ADP中，由勾股定理可求得PD=4

3

，
∴

PD

BP

=

4 3

8

=

3

2

，

AD

BC

=

2 3

4

，
∴

PD

BP

=

AD

BC

，且∠DAP=∠PCB，
∴△ADP∽△CPB，
此时AP=x=2；
②当∠CPB=90°时，P点即为E点位置，此时BP=2，AP=8，即
∵

AD

BP

=

2 3

2

=

3

，

AP

CP

=

8

2 3

，
∴

AD

BP

≠

AP

CP

，
∴△PCB与△ADP不相似，
综上可知当x=2时，△ADP∽△CPB．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质及直角三角形的性质，掌握三角形相似的判定方法及性质是解题的关键，注意含60°角的直角三角形的性质的利用．