Question

【题目】如图1，四边形ABCD内接于圆O，AC是圆O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P.且∠APC＝∠BCP.

(1)求证：∠BAC＝2∠ACD.

(2)过图1中的点D作DE⊥AC于E，交BC于G(如图2)，BG：GE＝3：5，OE＝5，求⊙O的半径.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)⊙O的半径为13.

【解析】

(1)连接BD，作DF⊥BC于F，由切线的性质得出∠PAC＝90°，由圆周角定理得出∠ADC＝90°，证出∠APC＝∠DAC＝∠DBC，得出∠DBC＝∠BCP，证出BD＝CD，由等腰三角形的性质和垂径定理得出BF＝CF＝BC，D、O、F三点共线，∠CDF＝∠BDC，由圆周角定理和等腰三角形的性质即可得出结论；

(2)设BG＝3x，则GE＝5x，证明△DEC≌△CFD(AAS)，得出DE＝CF，CE＝DF，求出OE＝OF＝5，证明△GDF≌△GCE(ASA)，得出GF＝GE＝5x，得出DE＝CF＝BF＝BG+GF＝8x，DG＝DE+GE＝13x，由勾股定理得出DF＝＝12x，证明△ODE∽△GDF，得出＝，解得x＝，进而得出答案.

证明：(1)连接BD，作DF⊥BC于F，如图1所示：

∵PA是⊙O的切线，

∴PA⊥AC，

∴∠PAC＝90°，

∴∠APC+∠ACP＝90°，

∵AC是圆O的直径，

∴∠ADC＝90°，

∴∠DAC+∠ACP＝90°，

∴∠APC＝∠DAC＝∠DBC，

∵∠APC＝∠BCP，

∴∠DBC＝∠BCP，

∴BD＝CD，

∵DF⊥BC，

∴BF＝CF＝BC，D、O、F三点共线，

∴∠CDF＝∠BDC，

∵∠BDC＝∠BAC，

∴∠BAC＝2∠CDF，

∵OD＝OC，

∴∠CDF＝∠ACD，

∴∠BAC＝2∠ACD；

解：(2)∵BG：GE＝3：5，

∴设BG＝3x，则GE＝5x，

∵DE⊥AC，

∴∠DEC＝90°＝∠CFD，

在△DEC和△CFD中，，

∴△DEC≌△CFD(AAS)，

∴DE＝CF，CE＝DF，

∴OE﹣OC＝DF﹣OD，即OE＝OF＝5，

∵∠DGF+∠GDF＝∠DGF+∠GCE＝90°，

∴∠GDF＝∠GCE，

在△GDF和△GCE中，，

∴△GDF≌△GCE(ASA)，

∴GF＝GE＝5x，

∴DE＝CF＝BF＝BG+GF＝3x+5x＝8x，

∴DG＝DE+GE＝13x，

∴DF＝＝＝12x，

∵∠ODE＝∠GDF，∠DEO＝∠DFG＝90°，

∴△ODE∽△GDF，

∴＝，即＝，

解得：x＝，

∴DF＝12×＝18，

∴OD＝DF﹣OF＝18﹣5＝13，

即⊙O的半径为13.