Question

【题目】如图，二次函数y＝ax2+bx﹣12的图象交x轴于A（﹣3，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．点D是抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点D的横坐标为m，并且当m≤x≤m+5时，对应的函数值y满足﹣m，求m的值；

（3）若点D在第四象限内，过点D作DE∥y轴交BC于E，DF⊥BC于F．线段EF的长度是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值及相应点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣12；（2）m的值为﹣或0．（3）点D坐标为（，﹣11）时，线段EF长度的最大值为．

【解析】

（1）已知抛物线过点A、B，用待定系数法即可求其解析式．

（2）把二次函数配方求得顶点为（1，﹣），当x＝1时，二次函数有最小值y＝﹣．而在m≤x≤m+5范围，函数值y对应的最小值也为﹣，故x＝1在m≤x≤m+5的范围内，即m≤1≤m+5，解得﹣4≤m≤1．因为不确定x＝m还是x＝m+5时取得相应的最大值，故需分类讨论．若x＝m离对称轴较远，则x＝m时取得最大值﹣m，代入计算即求得m的值；若x＝m+5离对称轴距离较远，则x＝m+5时取得最大值，代入计算即求得m的值．

（3）由DE∥y轴可得∠DEF＝∠BCO，点D与点E横坐标相同．设点D横坐标为d，用d表示点D纵坐标．求出直线BC解析式后，即能用d表示点E坐标，进而能用d表示DE的长度．由于DF⊥BC于E，所以cos∠DEF＝ ．在Rt△BOC中易求cos∠BCO的值，由∠DEF＝∠BCO得cos∠DEF＝cos∠BCO，能用含d的二次式表示EF，配方即求得EF的最大值．

解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣12的图象过点A（﹣3，0），B（5，0）

∴ 解得：,

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣12

（2）∵y＝x2﹣x﹣12＝（x﹣1）2﹣

∴当x＝1时，二次函数有最小值y＝﹣

∵当m≤x≤m+5时，对应的函数值y满足﹣≤y≤m

∴对称轴：x＝1在m≤x≤m+5的范围内，即m≤1≤m+5

解得：﹣4≤m≤1

取点（m，0）与点（m+5，0）的中点M（m+）

①当m+≤1时，即﹣4≤m≤﹣，点M在对称轴左侧

∴x＝m到对称轴的距离比x＝m+5到对称轴的距离远

∴x＝m时，y取得最大值

∴m2﹣m﹣12＝﹣m

解得：m1＝（舍去），m2＝﹣

②当m+＞1时，即﹣＜m≤1，点M在对称轴右侧

∴x＝m+5到对称轴的距离比x＝m到对称轴的距离远

∴x＝m+5时，y取得最大值

∴（m+5）2﹣（m+5）﹣12＝﹣m

解得：m1＝﹣10（舍去），m2＝0

综上所述，m的值为﹣或0．

（3）∵当x＝0时，y＝x2﹣x﹣12＝﹣12

∴C（0，﹣12）

∵B（5，0），∠BOC＝90°

∴直线BC：y＝x﹣12，BC＝

∴Rt△BOC中，cos∠BCO＝

∵DE∥y轴

∴∠DEF＝∠BCO，xE＝xD

设D（d，d2﹣d﹣12）（0＜d＜5），则E（d，d﹣12）

∴DE＝d﹣12﹣（d2﹣d﹣12）＝﹣d2+4d＝﹣（d﹣）2+5

∵DF⊥BC

∴∠DFE＝90°

∴cos∠DEF＝＝cos∠BCO＝

∴EF＝DE＝﹣（d﹣）2+

∴当d＝时，EF最大值为

此时，yD＝×（）2﹣×﹣12＝﹣11

∴点D坐标为（，﹣11）时，线段EF长度的最大值为．