Question

【题目】如图，△ABC中，∠C=90°．

（1）在BC边上作一点P，使得点P到点C的距离与点P到边AB的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，若AC=8，BC=6，求CP的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）作∠BAC的平分线交BC于P点，则点P到点C的距离与点P到边AB的距离相等；

（2）作PD⊥AB于点，如图，根据角平分线性质得PD=PC，则可证明Rt△ADP≌Rt△ACP得到AD=AC=8，再利用勾股定理计算出AB=10，则BD=2，设PC=x，则PD=x，BP=6﹣x，在Rt△BDP中，利于勾股定理得（6﹣x）2=x2+22，然后解方程即可．

解：（1）如图，点P即为所求；

（2）作PD⊥AB于点，如图，

∵AP平分∠CAB，PD⊥AB于D，∠C=90°，

∴PD=PC．

在Rt△ADP和Rt△ACP中

，

∴Rt△ADP≌Rt△ACP（HL），

∴AD=AC=8，

在Rt△ABC中，AB==10，

∴BD=10﹣8=2，

设PC=x，则PD=x，BP=6﹣x，

在Rt△BDP中，∵PD2+BD2=PB2，

∴（6﹣x）2=x2+22，解得x=．

答：CP的长为．