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【题目】如图,点P是正方形ABCD内的一点,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°,得到线段CQ,连接BPDQ

(1)、如图a,求证:△BCP≌△DCQ

(2)、如图,延长BP交直线DQ于点E

如图b,求证:BE⊥DQ

如图c,若△BCP为等边三角形,判断△DEP的形状,并说明理由.

【答案】(1)证明见试题解析;(2证明见试题解析;②△DEP为等腰直角三角形.

【解析】试题分析:(1)、根据正方形性质得出BC=DC,根据旋转图形的性质得出CP=CQ以及∠PCB=∠QCD,从而得出三角形全等;(2)、根据全等得出∠PBC∠QBC,设BECD交点为M,根据对顶角得出∠DME=∠BMC,从而说明BE⊥QD、根据等边三角形的性质得出PB=PC=BC∠PBC=∠BPC=∠PCB=60°,则∠PCD=30°,根据BC=DCCP=CQ得出△PCD为等腰三角形,然后根据△DCQ为等边三角形,从而得出∠DEP=90°,从而得出答案.

试题解析:(1)四边形ABCD是正方形,∴BCDC

将线段CP绕点C顺时针旋90°得到线段CQ∴CP=CQ,∠PCQ90°∴∠PCD+∠QCD90°

∵∠PCB+∠PCD=90° ∴∠PCB=∠QCD

△BCP△DCQBC=DCCP=CQ∠PCB=∠QCD ∴△BCP≌△DCQ

(2)①∵△BCP≌△DCQ ∴∠PBC∠QBC

BECD交点为M ∴∠DME=∠BMC ∠MED=∠MCB=90°∴BE⊥QD

②△DEP为等腰直角三角形,

∵△BOP为等边三角形 ∴PB=PC=BC ∠PBC=∠BPC=∠PCB=60°

∴∠PCD=90°-60°=30°∴∠DCQ=90°-60°=30°

∵BCDC CP=CQ∴PCDC DCCQ ∴△PCD是等腰三角形

△DCQ是等边三角形 ∴∠CPD∠CDP75°∠CDQ60°∴∠EPD=180°-15°-60°=45°

∠EDP=180°-75°-60°="45" °∴∠EPD=∠EDP PE=DE ∴∠DEP=180°-45°-45°=90°

∴△DEP是等腰直角三形

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