Question

如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点，DE=AD（n为大于2的整数），连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG．

（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；

（2）当AB=a（a为常数），n=3时，求FG的长；

（3）记四边形BFEG的面积为S₁，矩形ABCD的面积为S₂，当=时，求n的值．（直接写出结果，不必写出解答过程）

　

Answer 1

【考点】四边形综合题．

【专题】几何综合题．

【分析】（1）先求证△EFO≌△BGO，可得EF=BG，再根据△BOF≌△EOF，可得EF=BF；即可证明四边形BFEG为菱形；

（2）根据菱形面积不同的计算公式（底乘高和对角线乘积的一半两种计算方式）可计算FG的长度；

（3）根据菱形面积底乘高的计算方式可以求出BG长度，根据勾股定理可求出AF的长度，即可求出ED的长度，即可计算n的值．

【解答】解：（1）∵AD∥BC，

∴∠EFO=∠BGO，

∵FG为BE的垂直平分线，

∴BO=OE；

∵在△EFO和△BGO中，，

∴△EFO≌△BGO，

∴EF=BG，

∵AD∥BC，

∴四边形BGEF为平行四边形；

∵在△BOF和△EOF中，，

∴△BOF≌△EOF，

∴EF=BF，

∵邻边相等的平行四边形为菱形，

∴四边形BGEF为菱形．

 

（2）当AB=a，n=3时，AD=2a，AE=，

  根据勾股定理可以计算BE=，

∵AF=AE﹣EF=AE﹣BF，在Rt△ABF中AB²+AF²=BF²，计算可得AF=，EF=，

∵菱形BGEF面积=BE•FG=EF•AB，计算可得FG=．

 

（3）设AB=x，则DE=，

S₁=BG•AB，S₂=BC•AB

当=时， =，可得BG=，

在Rt△ABF中AB²+AF²=BF²，计算可得AF=，

∴AE=AF+FE=AF+BG=，DE=AD﹣AE=，

∴=，

∴n=6．

【点评】牢记菱形的底乘高和对角线求面积的计算公式，熟练运用勾股定理才能解本题．