Question

18．已知：如图，四边形ABCD是矩形，其中点A（x₁，a）、B（x₂，a）分别是函数y=$\frac{{k}_{1}}{x}$和y=$\frac{{k}_{2}}{x}$上第一象限的点，点C、D在x轴上．在边AD从大于AB到小于AB的变化过程中，若矩形ABCD的周长始终保持不变，则（k₂-k₁）的值的变化情况是（　　）

• A． 一直增大
• B． 一直减小
• C． 先增大后减小
• D． 先减小后增大

Answer 1

分析 根据题意表示出x₁=$\frac{{k}_{1}}{a}$，x₂=$\frac{{k}_{2}}{a}$，进而求得AB=CD=$\frac{{k}_{2}}{a}$-$\frac{{k}_{1}}{a}$=$\frac{{k}_{2}-{k}_{1}}{a}$，根据矩形ABCD的周长始终保持不变，得出2（$\frac{{k}_{2}-{k}_{1}}{a}$+a）=m（m为常数），经过变形得到k₂-k₁=-a²+$\frac{m}{2}$a，从而得出（k₂-k₁）的值随a的增大而先增大后减小．

解答 解：∵点A（x₁，a）、B（x₂，a）分别是函数y=$\frac{{k}_{1}}{x}$和y=$\frac{{k}_{2}}{x}$上第一象限的点，
∴x₁=$\frac{{k}_{1}}{a}$，x₂=$\frac{{k}_{2}}{a}$，
∴AB=CD=$\frac{{k}_{2}}{a}$-$\frac{{k}_{1}}{a}$=$\frac{{k}_{2}-{k}_{1}}{a}$，
∵矩形ABCD的周长始终保持不变，
∴设2（$\frac{{k}_{2}-{k}_{1}}{a}$+a）=m，
∴k₂-k₁=-a²+$\frac{m}{2}$a，
∴（k₂-k₁）是关于a的二次函数，
∵-1＜0，
∴（k₂-k₁）的值随a的增大而先增大后减小．
故选C．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的周长，图象上的点适合解析式是解题的关键．