【题目】如图1,二次函数y=ax2+bx的图象过点A(﹣1,3),顶点B的横坐标为1.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)点P在该二次函数的图象上,点Q在x轴上,若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标;
(3)如图3,一次函数y=kx(k>0)的图象与该二次函数的图象交于O、C两点,点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点,过点T作直线TM⊥OC,垂足为点M,且M在线段OC上(不与O、C重合),过点T作直线TN∥y轴交OC于点N.若在点T运动的过程中, 为常数,试确定k的值.
【答案】(1)y=x2﹣2x;(2)P(1+,2)或(1﹣,2)或P(1+,4)或(1﹣,4);(3)k=.
【解析】试题分析:(1)利用待定系数法即可解决问题.
(2)①当AB为对角线时,根据中点坐标公式,列出方程组解决问题.②当AB为边时,根据中点坐标公式列出方程组解决问题.
(3)设T(m,m2﹣2m),由TM⊥OC,可以设直线TM为y=﹣x+b,则m2﹣2m=﹣m+b,b=m2﹣2m+,求出点M、N坐标,求出OM、ON,根据列出等式,即可解决问题.
试题解析:解:(1)∵二次函数y=ax2+bx的图象过点A(﹣1,3),顶点B的横坐标为1,则有,解得: ,∴二次函数y=x2﹣2x;
(2)由(1)得:B(1,﹣1).∵A(﹣1,3),∴直线AB解析式为y=﹣2x+1,AB=2,设点Q(m,0),P(n,n2﹣2n).∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,分两种情况讨论:
①当AB为对角线时,根据中点坐标公式得,则有,解得: 或,∴P(1+,2)和(1﹣,2);
②当AB为边时,根据中点坐标公式得,解得或,
∴P(1+,4)或(1﹣,4).
故答案为:P(1+,2)或(1﹣,2)或P(1+,4)或(1﹣,4).
(3)设T(m,m2﹣2m).∵TM⊥OC,∴可以设直线TM为y=﹣x+b,则m2﹣2m=﹣m+b,b=m2﹣2m+,由,解得,∴OM==,ON=m,∴=,∴k=时, =,∴当k=时,点T运动的过程中, 为常数.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知直线y=﹣x+8与x轴、y轴分别交于A、B两点.直线OD⊥直线AB于点D.现有一点P从点D出发,沿线段DO向点O运动,另一点Q从点O出发,沿线段OA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到O时,两点都停止.设运动时间为t秒.
(1)点A的坐标为_____;线段OD的长为_____.
(2)设△OPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系(不要求写出取值范围),并确定t为何值时S的值最大?
(3)是否存在某一时刻t,使得△OPQ为等腰三角形?若存在,写出所有满足条件的t的值;若不存在,则说明理由.
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【题目】 观察下列两个等式:2+2=2×2,3+=3×,给出定义如下:我们称使等式a+b=ab成立的一对有理数a,b为“有趣数对”,记为(a,b)如:数对(2,2),(3,)都是“有趣数对”.
(1)数对(0,0),(5,)中是“有趣数对”的是 ;
(2)若(a,)是“有趣数对”,求a的值;
(3)请再写出一对符合条件的“有趣数对” ;
(注意:不能与题目中已有的“有趣数对”重复)
(4)若(a2+a,4)是“有趣数对”求3﹣2a2﹣2a的值.
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【题目】正方形ABCD中,F是AB上一点,H是BC延长线上一点,连接FH,将△FBH沿FH翻折,使点B的对应点E落在AD上,EH与CD交于点G,连接BG交FH于点M,当GB平分∠CGE时,BM=2,AE=8,则ED=______.
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【题目】如图,已知数轴上的点A表示的数为6,点B表示的数为﹣4,点C到点A、点B的距离相等,动点P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,设运动时间为x(x大于0)秒.
(1)点C表示的数是 ;
(2)当x= 秒时,点P到达点A处?
(3)运动过程中点P表示的数是 (用含字母x的式子表示);
(4)当P,C之间的距离为2个单位长度时,求x的值.
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【题目】点在线段上,.
(1) 如图1,,两点同时从,出发,分别以,的速度沿直线向左运动;
①在还未到达点时,的值为 ;
②当在右侧时(点与不重合),取中点,的中点是,求的值;
(2) 若是直线上一点,且.则的值为 .
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,两点分别是轴和轴正半轴上两个动点,以三点为顶点的矩形的面积为24,反比例函数(为常数且)的图象与矩形的两边分别交于点.
(1)若且点的横坐标为3.
①点的坐标为 ,点的坐标为 (不需写过程,直接写出结果);
②在轴上是否存在点,使的周长最小?若存在,请求出的周长最小值;若不存在,请说明理由.
(2)连接,在点的运动过程中,的面积会发生变化吗?若变化,请说明理由,若不变,请用含的代数式表示出的面积.
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【题目】已知:一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是2,方差是,那么另一组数据3x1﹣2,3x2﹣2,3x3﹣2,3x4﹣2,3x5﹣2的平均数和方差分别是( )
A. 2, B. 2,1 C. 4, D. 4,3
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【题目】已知a,b为有理数,且a,b不为0,则定义有理数对(a,b)的“真诚值”为d(a,b)=,如有理数对(3,2)的“真诚值”为d(3,2)=23﹣10=﹣2,有理数对(﹣2,5)的“真诚值”为d(﹣2,5)=(﹣2)5﹣10=﹣42.
(1)求有理数对(﹣3,2)与(1,2)的“真诚值”;
(2)求证:有理数对(a,b)与(b,a)的“真诚值”相等;
(3)若(a,2)的“真诚值”的绝对值为|d(a,2)|,若|d(a,2)|=6,求a的值.
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