【题目】如图,在△ABC中,BC=10,高AD=8,M、N、P分别在边AB、BC、AC上移动,但不与A、B、C重合,连接MN、NP、MP,且MP始终与BC保持平行,AD与MP相交于点E,设MP=x,△MNP的面积用y表示.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)当x取什么值时,y有最大值,并求出的最大值;
(3)当x取什么值时,△MNP是等腰直角三角形?
【答案】(1)y=﹣;(0<x<10);(2)x=5,y最大值是10;(3)
或
.
【解析】
(1)先证明△AMP∽△ABC求得ED=8﹣x,再由三角形面积公式即可求得y与x之间的关系;
(2)进行配方求解即可;
(3)分三种情况:∠NMP=90°,∠MPN=90°,∠MNP=90°时,MN=MP分别求解即可.
(1)∵MP∥BC,AD⊥BC,
∴△AMP∽△ABC,
∴,
∵BC=10,高AD=8,MP=x,
∴,
8x=10(8﹣ED),
ED=8﹣x,
∴y==
=﹣
(0<x<10);
(2)y=﹣=﹣
(x﹣5)2+10,
∵﹣<0,
∴当x=5时,y有最大值是10;
(3)分三种情况:
①当∠NMP=90°,MN=MP时,如图1,△MNP是等腰直角三角形,
由(1)知:MN=8﹣x,
∴x=8﹣x,
x=;
②当∠MPN=90°,MP=PN时,如图2,△MNP是等腰直角三角形,
同理得:x=;
③当∠MNP=90°,MN=PN时,如图3,△MNP是等腰直角三角形,
过M作MG⊥BC于G,过P作PH⊥BC于H,
∵MP∥BC,
∴MG=PH,
∵MN=NP,
∴Rt△MGN≌Rt△PHN(HL),
∴GN=NH,
∵MP∥BC,
∴∠MNG=∠NMP=45°=∠HNP=∠NPM,
∴GM=GN=NH=PH,
由(1)知:MG=8﹣x,
∵MP=GN+NH=2GN,
∴x=2(8﹣x),
x=,
综上,当x取或
时,△MNP是等腰直角三角形.
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【题目】某水产养殖户进行小龙虾养殖. 已知每千克小龙虾养殖成本为6元,在整个销售旺季的80天里,日销售量与时间第
天之间的函数关系式为
(
,
为整数),销售单价
(元/
)与时间第
天之间满足一次函数关系如下表:
时间第 | 1 | 2 | 3 | … | 80 |
销售单价 | 49. 5 | 49 | 48. 5 | … | 10 |
(1)写出销售单价(元/
)与时间第
天之间的函数关系式;
(2)在整个销售旺季的80天里,哪一天的日销售利润最大?最大利润是多少?
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【题目】如图二次函数的图像交
轴于
、
,交
轴于
,直线
平行于
周,与抛物线另一个交点为
.
(1)求函数的解析式;
(2)若是
轴上的动点,
是抛物线上的动点,求使以
、
、
、
为顶点的四边形是平行四边形的
的横坐标.
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【题目】如图,抛物线y=-x2+2x+m+1交x轴于点A(a,0)和B(b,0),交y轴于点C,抛物线的顶点为D,下列四个判断:①当x>0时,y>0;②若a=-1,则b=3;③抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x2,y2),若x1<1<x2,且x1+x2>2,则y1>y2;④点C关于抛物线对称轴的对称点为E,点G、F分别在x轴和y轴上,当m=2时,四边形EDGF周长的最小值为,其中,判断正确的序号是( )
A.①②B.②③C.①③D.②③④
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,记直线y=x+1为l.点A1是直线l与y轴的交点,以A1O为边作正方形A1OC1B1,使点C1落在在x轴正半轴上,作射线C1B1交直线l于点A2,以A2C1为边作正方形A2C1C2B2,使点C2落在在x轴正半轴上,依次作下去,得到如图所示的图形.则点B4的坐标是 ,点Bn的坐标是 .
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【题目】如图,已知矩形ABCD,AB=6,AD=2,对角线AC,BD交于点O,E为对角线AC上一点.
(1)求证:△OBC是等边三角形;
(2)连结BE,当BE=时,求线段AE的长;
(3)在BC边上取点F,设P,Q分别为线段AE,BF的中点,连结EF,PQ.若EF=2,求PQ的取值范围.
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【题目】把一副三角板按如图1所示放置,其中点在
边上,
,斜边
.将三角板
绕点
顺时针旋转,记旋转角为
.
(1)在图1中,设与
的交点为
,则线段AF的长为 ;
(2)当时,三角板
旋转到
,的位置(如图2所示),连接
,请判断四边形
的形状,并证明你的结论;
(3)当三角板旋转到
的位置(如图3所示)时,此时点
恰好在
的延长线上.①求旋转角
的度数;②求线段
的长.
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【题目】如图,以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点,交直角边AC于点E;B、E是半圆弧的三等分点,的长为
,则图中阴影部分的面积为( )
A.B.
C.
D.
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