Question

11．已知二次函数y=x²+ax+b的图象经过点A（x₁，0），B（x₂，0），C（2，m），且0＜x₁＜x₂＜2．
（1）求证：m＞0；
（2）若b≥1，求证：m＜1．

Answer 1

分析 （1）可以根据已知画出二次函数图象，根据图象分析可以证明m＞0．
（2）利用二次函数交点式与一般式写出等式，根据特殊点带入，求出bm的一个代数式，通过展开代数式和代数式因式分解，即可证明m＜1．

解答 证明：（1）∵二次函数y=x²+ax+b二次项系数为1，
∴二次函数图象抛物线开口向上．
∵二次函数y=x²+ax+b的图象经过点A（x₁，0），B（x₂，0），C（2，m），且0＜x₁＜x₂＜2．如图：

∴二次函数当x=x₂时，y=0，且x＞x₂时，y随x的增大而增大，
∴m＞0；

（2）由已知得：x²+ax+b=（x-x₁）（x-x₂），
令x=0得b=x₁x₂，
令x=2得m=（2-x₁）（2-x₂），
∴bm=x₁x₂（2-x₁）（2-x₂）=[1-（x-x₁）²][1-（x₂-1）²]，
∵0＜x₁＜x₂＜2，
0＜1-（x-x₁）²＜1，0＜1-（x₂-1）²＜1，
并且1-（x-x₁）²=1和1-（x₂-1）²=1不能同时成立，
∴0＜bm＜1，
又∵b≥1，
∴m＜1．

点评 题目考查二次函数图象与坐标轴交点知识，同时考查学生分析问题解决问题能力，特别是代数式的变形，更能看出本题作为奥数解答题的重要性．