Question

【题目】定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a）．例如：a=12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12=33，和与11的商为3311=3，所以f（12）=3．

根据以上定义，回答下列问题：

（1）填空：

①下列两位数：40，42，44中，“迥异数”为 ；

②计算：f（23）= ．

（2）如果一个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），且f（b）=11，请求出“迥异数”b．

（3）如果一个“迥异数”c，满足c5f（c）30，请直接写出满足条件的c的值．

Answer 1

【答案】(1)①42，②5；(2)38；(3) 71或81或82或91或92或93.

【解析】

(1)①由“迥异数”的定义求解即可；

②根据定义计算可得；

(2)先将这个“迥异数”用k的代数式表示为：12k+2，再计算f(b)的值，最后利用等式f(b)=11即可求得b.

(3)设这个“迥异数”的十位和个位分别是m和n，将这个数c及f(c)分别用m和n的代数式表示，然后再通过给出的不等式求解即可.

解：(1)①由定义“个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为迥异数”可知，40，42，44中，“迥异数”为42.

故答案为：42.

②f(23)=(23+32)÷11=5.

故答案为：5.

(2)∵这个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是2(k+1)

∴b=10×k+2(k+1)=12k+2.

将这个数的个位和十位调换后为：10×2(k+1)+k=21k+20

∴f(b)=(12k+2+21k+20)÷11=3k+2

又f(b)=11

∴3k+2=11

∴k=3

故这个“迥异数”b=12k+2=38.

故答案为：38.

(3) 设这个“迥异数”c的个位为n，十位为m，则m≠n，且m,n均为大于1小于10的正整数.

则c=10m+n，调换个位和十位后为：10n+m

故f(c)=(10m+n+10n+m)÷11=m+n

∵c5f（c）30

∴10m+n-5(m+n) 30

整理得：5m-4n>30

∴，即……①

又∵

∴，解得：

又n为正整数

故n=1或2或3

当n=1时，代入①中，m=7或8或9，此时c=71或81或91；

当n=2时，代入①中，m=8或9，此时c=82或92;

当n=3时，代入①中，m=9，此时c=93.

故所有满足条件的c有：71或81或82或91或92或93.