Question

关于x的方程x²-x+1-m=0的两个实数根x₁、x₂，满足|x₁|+|x₂|≤5，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：一元二次方程根的分布

专题：

分析：由根的判别式得到m≥

3

4

．根据一元二次方程的根与系数的关系得到x₁+x₂=1，x₁•x₂=1-m．由已知条件列出关于m绝对值不等式，通过解不等式来求m的取值范围．

解答：解：∵关于x的方程x²-x+1-m=0有两个实数根，
∴△=1-4+4m≥0，
解得 m≥

3

4

．
∵关于x的方程x²-x+1-m=0的两个实数根x₁、x₂，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=1-m，
∴x₁²+x₂²=1-2（1-m），
∴由|x₁|+|x₂|≤5，得
x₁²+x₂²+2|x₁•x₂|≤25，即1-2（1-m）+2|1-m|≤25，
整理，得
m+|1-m|-13≤0，
故

1-m≥0 m+1-m-13≤0

或

1-m＜0 m-1+m-13≤0

，
解得 m≤1或1＜m≤2．
综上所述，m的取值范围是

3

4

≤m≤2．
故答案是：

3

4

≤m≤2．

点评：本题考查了一元二次方程根的分布．根据一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及与代数式变形相结合来求m的取值范围．