Question

10．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
如图1，把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，我们把这两条线段叫做等腰三角形的三分线．
（1）如图2，请用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）
（2）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的判定定理容易画出图形；由等腰三角形的性质即可求出各个顶角的度数；
（2）根据等腰三角形的判定定理容易画出图形；设∠B=α，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=α，∠ADE=∠AED=2α，则△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，得出对应边成比例，设AE=AD=x，BD=CD=y，得出方程组，解方程组即可．

解答 解：（1）作图如图1、图2所示：
在图1中，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠A=45°，
∴∠ADC=90°；
∵AB=AC，∠A=45°，
∴∠B=∠ACB=67.5°，
∴∠ECD=67.5°-45°=22.5°，
∵DE=CE，
∴∠EDC=∠ECD=22.5°，
∴∠DEC=135°，
∴∠BED=45°，
即三个等腰三角形的顶角分别为90°、135°、45°；
在图2中，∵AD=DE，
∴∠DEA=∠A=45°，
∴∠ADE=90°，∠DEC=135°；
∵BC=DC，
∴∠CDB=∠B=67.5°，
∴∠BCD=45°，
即三个等腰三角形的顶角分别为90°、135°、45°；
（2）如图3所示，CD、AE就是所求的三分线．
设∠B=α，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=α，∠ADE=∠AED=2α，
此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，
设AE=AD=x，BD=CD=y，
∵△AEC∽△BDC，
∴x：y=2：3，
∵△ACD∽△ABC，
∴2：x=（x+y）：2，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{x：y=2：3}\\{2：x=（x+y）：2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2\sqrt{10}}{5}}\\{y=\frac{3\sqrt{10}}{5}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2\sqrt{10}}{5}}\\{y=-\frac{3\sqrt{10}}{5}}\end{array}\right.$ （负值舍去），
∴AE=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，CD=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
即三分线长分别是$\frac{3\sqrt{10}}{5}$ 和$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题是相似形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、等腰三角形的画图、相似三角形的判定与性质、解方程组等知识；本题综合性强，有一定难度．